Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

Принцип суперпозиции в квантовой теории не запрещает состояния которые являются суперпозициями или прямыми суммами состояний элементарных частиц. Понятие прямой суммы полностью отличается от понятия тензорного произведения. Тензорное произведение двух элементарных частиц – это две элементарные частицы, а прямая сумма – это одна частица, которая не является элементарной так является суперпозицией элементарных частиц. В связи с понятием тензорного произведения, в литературе широко обсуждается понятие entanglement.

Особенно известным это понятие стало в связи с обсуждением статьи [28]. В ней Einstein, Podolsky и Rosen предложили такой эксперимент. Допустим, что некоторая частица распадается на два состояния A и Б с одинаковой вероятностью и потом эти состояния удаляются друг от друга. Допустим, что через какое-то большое время мы обнаруживаем на большом расстоянии справа от точки распада состояние А. Тогда мы точно знаем, что на большом расстоянии слева от точки распада может быть обнаружено только состояние B. И наоборот, если мы обнаружили B, то точно знаем, что слева может быть обнаружено А. После распада, волновая функция системы является тензорным произведением частиц А и B. Но, если мы справа обнаружили А, то, исходя из принципа редукции волновой функции, уже точно знаем, что волновая функция левого состояния – уже не тензорное произведение А и B, а только состояние B. Авторы [28] считают, что этот эксперимент показывает неполноту квантовой теории так как, после эксперимента справа, волновая функция левого состояния сразу редуцируется, вопреки требованию, что никакую информацию нельзя передать со скоростью быстрее скорости света. Но никакого противоречия с квантовой теорией нет так волновая функция описывает только вероятности и больше ничего. Если наблюдатель, обнаружил состояние А справа, то наблюдатель слева получит эту информацию не сразу, а только через какое-то время. В данном случае, волновая функция системы является тензорным произведением волновой функции ψA в Гильбертовом пространстве HA и волновой функции ψB в Гильбертовом пространстве HB, то есть, нужны два Гильбертовых пространства.

Однако, прямая сумма ψA+ ψB состояний ψA и ψB является элементом одного Гильбертова пространства H. Здесь мы не можем обнаружить и A и B: если в результате эксперимента обнаружилось состояние А, то, согласно принципу редукции волновой функции, после эксперимента, волновая функция уже не будет суперпозицией ψA+ ψB и может остаться только A и, даже, например, в случае нейтрино, это состояние может полностью поглотиться.

То есть, состояния (f1,f2,f3)=(νe,νμ,ντ) с разными «flavors» уже являются не элементарными частицами, а суперпозициями элементарных частиц (ν1,ν2,ν3) с разными массами mi:

fi=Σj=13 Uij νj,(i=1,2,3) (18.1)

где Uij являются элементами комплексной 3х3 матрицы.

До проблемы нейтринных осцилляций, прямая сумма элементарных частиц использовалась только в QCD для описания перемешивания кварков при помощи угла Cabibbo или матрицы Cabibbo—Kobayashi—Maskawa. Кардинальная разница между случаями кварков и нейтрино такая. Так как кварки не могут быть в свободных состояниях, то кварки в одной прямой сумме находятся внутри одного и того же нуклона или мезона и расстояния между такими кварками не могут превосходить размер данного нуклона или мезона. С другой стороны, нет теоретических ограничений на расстояния между разными нейтринными массовыми состояниями из одной и той же прямой суммы.

Теперь возникает кардинальный вопрос: какой должна быть суперпозиция массовых состояний? Почему-то (видимо, для упрощения жизни) предполагается, что разные массовые состояния имеют одинаковые импульсы, но никаких теоретических аргументов в пользу этого предположения нет. Например, автор статьи [29] пишет:

"Why should one assume that the different mass eigenstates νj in a beam have a common momentum but different energies? Why not assume they have a common energy but different momenta? Or different momenta and different energies? And what oscillation pattern is predicted if one does make one of these alternate assumptions?

К этому списку вопросов можно добавить: "Почему не предположить, что разные массовые состояния имеют одинаковые скорости и даже непонятно, почему направления импульсов всех частиц должны быть одинаковыми?"

Параметризация матрицы U из уравнения (18.1) кардинально зависит от того какую модель для прямой суммы мы выберем. Если импульсы масс mi одинаковые, то их скорости разные. Обычно матрицу U параметризуют, исходя из предположения, что импульсы компонент одинаковые. Тогда, при общепринятом выборе величин разности квадратов масс компонент, через год расстояния между компонентами будут порядка одного метра [30]. А например, для нейтрино приходящих от Сириуса (расстояние до которого «всего» 8.6 световых лет), расстояния между компонентами будут порядка 8,6m. Но для основной части нейтрино от звезд, расстояния между компонентами будут порядка километры или больше.

Возникает проблема, может ли взаимодействие таких нейтрино с детектором на Земле все еще быть описано в терминах (νe,νμ,ντ). Как утверждается в [29], осцилляции не будут происходить при таких условиях. С другой стороны, в модели где скорости масс mi одинаковы, расстояния между их волновыми пакетами не будут меняться со временем. А если импульсы масс имеют разные направления, то вообще непонятно, какие теоретические предсказания можно сделать. Эта проблема представляет большой теоретический интерес, однако ее экспериментальное исследование проблематично. Большинство нейтрино детектируемых нейтринными обсерваториями, являются либо солнечными нейтрино либо нейтрино образовавшимися когда высокоэнергетичные частицы из космоса сталкиваются с частицами земной атмосферы. Поэтому очень трудно обнаружить нейтрино которое пришло к Земле от далекой звезды.

Так как нет никаких теоретических аргументов в пользу той или иной модели прямой суммы, то непонятно следующее: допустим, что мы выбрали какую-то модель и нам удалось найти параметры матрицы U, которые с хорошей точностью описывают эксперимент. Даже это, даст ли какой-то намек на то какая теория суперпозиции описывает реальную физику? Но, несмотря на большое количество попыток параметризации матрицы U, непонятно, есть ли теоретические аргументы в пользу того или иного выбора параметризации. Например, в статье [31] обсуждается, что, если предположить, что импульсы компонент одинаковые, то какие параметры матрицы U известны с хорошей точностью, какие известны с большой неопределенностью и какие совсем неизвестны.

Итак, хотя явление нейтринных осцилляций подтверждено в большом количестве экспериментов, но нет никакой надежной теории описывающей физику этого явления.

Поэтому я думаю, что физика нейтринных осцилляций должна описываться в подходах, которые кардинально отличаются от того что есть сейчас, и в физической литературе должны приветствоваться разные подходы к этой проблеме.

В статье [30] я предложил подход в котором нейтрино