Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

Рис. 7.3. Слева: квадрат расстояния на плоскости равен a2 + b2, если сетка равномерная и прямоугольная. Расстояние c можно тогда узнать, считая длины a и b по клеткам, в данном случае В центре: из-за того, что сетка скошена, квадрат расстояния равен a2 + b2 – 0,96ab. Справа: в криволинейной сетке само определение треугольников и параллелограммов требует уточнения

Двадцать оттенков кривизны. Может так случиться – и случается, – что Агент лишь имитирует непифагоровость/неевклидовость за счет путаного определения «направлений» в пространстве или пространстве-времени. Даже плоскость можно разграфить не в прямоугольную клетку, а косо, как на рис. 7.3 в центре, где квадрат расстояния вычисляется исходя из длин двух отрезков вдоль координатных осей не по Пифагору, а как c2 = a2 + b2 – 0,96ab (т. е. число д из абвгдежзик-таблицы в данном случае равно –0,48). А если буквы абвгдежзик меняются от точки к точке, то картина выглядит не просто скошенно, а буквально криво, как на рис. 7.3 справа, и рецепт вычисления расстояний становится особенно сложным. Спрашивается, в каких случаях все-таки можно выпрямить сетку координатных линий, чтобы вернуть расстоянию его пифагоров вид? Это получится не для всех поверхностей, изображенных на рис. 7.4; а вообще можно ли, разглядывая абвгдежзик-таблицы, узнать, к какой из этих поверхностей они относятся? На рис. 7.4 по необходимости изображены двумерные поверхности, а в четырехмерии возможностей «скривиться» неизмеримо больше, и разобраться в них наивными средствами совсем не просто. Пытаться в лоб найти простое описание вместо сложного – не всегда хороший план: что, спрашивается, мы должны будем заключить, если после двух недель поисков мы так ничего и не найдем? Желаемое выпрямление существует, но сложно устроено или его вовсе нет? По счастью, имеется метод прямой обработки данных из абвгдежзик-таблиц, позволяющий сразу увидеть, есть ли неустранимая причина, по которой квадраты расстояний вычисляются не по Пифагору, или же все усложнения только кажущиеся из-за искусственного выбора скособоченной сетки. Этот метод состоит просто-напросто в построении кривизны. Отлично работает и в пространстве, и в пространстве-времени.

Рис. 7.4. Искривленные и неискривленные поверхности (слева направо и сверху вниз): гиперболоид, цилиндр, тор, сфера. Цилиндр не имеет кривизны; тор выглядит искривленным при изображении в трехмерном пространстве, но математически, «сам по себе», он также имеет нулевую кривизну. Сфера и гиперболоид – искривленные поверхности. Цилиндр и гиперболоид – «открытые» (незамкнутые) поверхности, а сфера и тор – замкнутые

Кривизна дает критерий, чтобы решить, плоское пространство-время или нет. Если кривизна не равна нулю, то, значит, нельзя выбрать «прямую» координатную сетку и буквы абвгдежзик везде сделать нулями и (минус) единицами, как в плоском пространстве-времени. А если равна нулю, то можно, как бы Агент ни пытался нас запутать. Вычисление кривизны – вполне «машинная» обработка абвгдежзик-таблиц, которую и в самом деле можно поручить компьютеру, обученному символьным вычислениям. Сначала по имеющейся метрике строятся правила параллельного переноса, а из них, как мы видели на прогулке 6, определяется кривизна. В итоге получается математическое выражение для кривизны в зависимости от букв абвгдежзик, но не просто от их значений в данной точке пространства-времени, а еще и от того, как быстро эти значения меняются при переходе к соседним точкам[134], и от того, как быстро меняются сами эти темпы изменения. Это слегка пугающее изобилие, и оно организуется в таблицу формата 4 × 4 × 4 × 4, с которой мы уже встречались в главе «прогулка 6». Однако независимых данных в ней существенно меньше, чем 4 · 4 · 4 · 4 = 256, потому что таблица кривизны, построенная из метрики, – это еще и «калейдоскоп».

Рис. 7.5. Кривизна – таблица 4 × 4, составленная из таблиц 4 × 4. Двадцать компонент кривизны обозначены заглавными буквами русского алфавита; они распределяются по 144 ячейкам, не содержащим заведомых нулей. Каждая из этих букв – сложное выражение из букв абвгдежзик

Вообще, калейдоскоп – это устройство для создания узоров путем кратного отражения сравнительно небольшого числа элементов. Отражения уже появились в структуре абвгдежзик-таблицы; в кривизне же отражения поинтереснее, потому что 256 имеющихся ячеек содержат лишь 20 различных элементов, которые вынуждены повторяться, иногда с небольшими вариациями. Работает это так: 112 ячеек всегда заняты нулями (ну и тем лучше!), а по оставшимся 144 ячейкам эти 20 элементов распределены или буквально в виде повторов, или в виде повторов со знаком минус, или в виде разности двух элементов. Это и проиллюстрировано на рис. 7.5. Таблица 4 × 4 × 4 × 4 записана там приемлемым для печати способом в формате «большая таблица 4 × 4, состоящая из таблиц 4 × 4». Следуя порочной практике этой прогулки, я обозначил 20 независимых компонент кривизны заглавными буквами из начала – и по необходимости середины – русского алфавита, пропустив только «О», чтобы она не путалась с нулем. Правила, по которым одни и те же элементы повторяются или сами по себе, или со знаком минус, были бы более наглядными, если всю таблицу разглядывать не как таблицу таблиц, а как четырехмерный куб, но это, увы, не в наших силах. Каждая буква А, Б, В, … – это замысловатое выражение, составленное из букв а, б, в, …, из темпов их изменения по разным направлениям и из темпов изменения темпов изменения. Вникать в это мы не собираемся, цель рисунка – проиллюстрировать, что в четырехмерном пространстве-времени у кривизны 20 независимых компонент: 20 независимых способов организовать сжатия, растяжения и скручивания, которые в принципе могут выпасть на долю каких-либо планет, космических кораблей или муравьев.

А кроме того, кривизна – это еще и мостик, помогающий сопоставить различные картины мира, измеряя их сложность более объективно, чем это получается непосредственно из вида метрики. Когда мы говорим о том, как замедляется время вблизи черной дыры, или замечаем, что под горизонтом пространство и время поменялись местами, – мы смотрим на то, как устроены метрики (абвгдежзик-таблицы). Но разные наблюдатели могут записать их многими разными способами для одной и той же черной дыры: согласно таблицам, которыми оперируют болельщики, бросившие путешественника в черную дыру, он навсегда зависает над