Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение. - Хавьер Фресан

ВЕЙЛЬ: Ах, эта юность, эта святая простота! Как же сложно по-новому посмотреть на то, что всем известно с детства. «От перемены мест множителей произведение не меняется» только при умножении чисел: трижды семь — то же, что и семью три. Однако нет никакой причины, по которой этот закон должен выполняться для других операций, например для сочетания движений, оставляющих исходную фигуру неизменной. Между прочим, это четко видно в нашем примере. Если сначала мы выполним S, а затем R, то получим...

Композиция преобразований S и R.

Вершины будут располагаться в порядке 2—1—3. Таким образом, результаты движений SR и RS отличаются.

46

ЛЕВИ-СТРОСС: Но RS — тоже симметрия.

Преобразование RS — симметрия.

ВЕЙЛЬ: Да, и ее ось проходит через третью вершину. Для того чтобы при симметрии треугольник оставался неизменным, ось симметрии должна проходить через его центр и одну из вершин. На основе R и S можно определить все возможные разновидности такой симметрии. Если ось симметрии проходит через вторую вершину, это симметрия SR, если через третью — RS. Добавив к ним собственно симметрию S, ось которой проходит через первую вершину, получим полный перечень:

S, SR и RS — все возможные виды симметрии, оставляющие треугольник неизменным.

Виды симметрии, оставляющие треугольник неизменным.

ЛЕВИ-СТРОСС: Послушайте, господин Вейль, чтобы мы могли составить композицию двух преобразований, они обязательно должны отличаться?

47

ВЕЙЛЬ: Вовсе нет. Ничто не мешает применить одно и то же преобразование несколько раз подряд. Так как поворот фигуры два раза подряд на 120° равносилен повороту на 240°, движение RR также будет поворотом, при котором треугольник остается неизменным. Вместо RR будем записывать R2. Если мы повернем фигуру еще на 120°, она совпадет с исходной. Таким образом, R3 никак не изменяет треугольник. Мы не учли преобразование, которое оставляет порядок следования вершин неизменным — 1—2—3. Будем называть это преобразование тождественным и обозначим его через I. Обратите внимание, что композицией тождественного преобразования и любого другого движения будет это движение.

Мы доказали, что R3 = I, так как результатом трех поворотов является исходная фигура. Говорят, что порядок R равен трем. В общем случае порядок преобразования указывает, сколько раз его нужно применить, чтобы получить тождественное преобразование. S имеет порядок, равный двум — если мы повторим симметрию дважды, то получим исходный треугольник. Мы уже показали, что S, RS и SR — симметрии треугольника. Какие повороты оставляют фигуру неизменной? Обратите внимание, что поворот обладает этим свойством только тогда, когда угол поворота кратен 120°. Следовательно, все возможные повороты — это R, R2 и R3 = I.

Повороты, оставляющие треугольник неизменным.

Мы описали все возможные виды симметрии (S, RS и SR) и все повороты (I, R, R2). Преобразования, оставляющие треугольник неизменным, определяются тем, как они меняют порядок его вершин. Так как поменять вершины треугольника местами можно всего шестью способами, мы описали все преобразования, обладающие этим свойством. Мы знаем, каковы результаты R и S, но не знаем, что получится, если мы применим сначала поворот R, а затем симметрию RS.

48

Преобразование (RS) R.

Как видите, при композиции этих преобразований порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 1—3—2. Таким же будет порядок вершин и при симметрии S, значит, (RS)R = S.

ЛЕВИ-СТРОСС: А что означают скобки?

ВЕЙЛЬ: Скобки указывают, в каком порядке выполняется композиция преобразований. Обратите внимание, что запись RSR априори неоднозначна: следует ли выполнить сначала преобразование R, а затем RS, как мы только что сделали, или же применить сначала SR, а затем R? В первом случае запишем (RS)R, во втором — R(SR). Результаты этих преобразований могут отличаться. Рассмотрим в качестве примера вычитание натуральных чисел. Результаты

7 - (5 - 3) = 7 - 2 = 5

и

(7 - 5) - 3 = 2 - 3 = -1

отличаются, и здесь крайне важно, как располагаются скобки. Впрочем, нам повезло: преобразования (RS)R и R(SR) совпадают.

Преобразования R(SR) и (RS)R совпадают.

ЛЕВИ-СТРОСС: Столько информации! У меня голова идет кругом!

ВЕЙЛЬ: Неудивительно. Предлагаю вам представить результаты в «таблице умножения», подобной той, что мы учили в школе. В каждой клетке запишем композицию преобразований, указанных в соответствующей строке и столбце. Первой всегда будет преобразование, указанное в столбце, как показано стрелкой.

49

Пока что я записал в таблице только те преобразования, результат которых мы уже знаем: композицией любого преобразования и тождества будет исходное преобразование, RSR = S, a R3 = S2 = I. Эти результаты позволяют нам найти результат, например SRSR. Так как мы можем расставить скобки произвольным образом, получим: SRSR = S(RSR). Согласно приведенным выше равенствам, RSR = S, следовательно, SRSR= SS = S2 — это тождественное преобразование, так как порядок симметрии S равен двум. Следовательно, SRSR = I. Но таблица еще не закончена. Не хватает еще нескольких композиций, в частности SRS. Чтобы определить ее результат, напомню, что RSR = S. Если приписать в обе части равенства R2, получим R2RSR = R2S. Мы знаем, что R2R = R3 = I, следовательно, SR = R2S.

Мы получили еще одну композицию, результат которой известен. Мы по-прежнему можем приписать S в обе части равенства, на этот раз — справа. Получим SRS = R2S2, но так как S2 = I, имеем SRS = R2. Добавим результаты в таблицу.

Но таблица все еще не закончена: не хватает композиций R2SR, SR2, RSR2, RSRS и SR2S. Их результаты можно получить на основе тех, что приведены выше — попробуйте сами! К примеру, R2SR совпадает с R(RSR). Но мы знаем, что RSR = S, следовательно, R2SR = RS. Аналогично:

SR2=(SR)R=(R2S)R=R(RSR)=RS,

50

ведь мы уже доказали, что SR = R2S. Я уже провел самые сложные вычисления, и все остальные расчеты вы можете выполнить самостоятельно. Попробуйте и поймете, удалось ли вам понять описанный метод. Как бы то ни было, важно, что эта таблица содержит всю информацию о множестве преобразований, оставляющих треугольник неизменным: что это за преобразования, каковы их композиции, какой порядок они имеют (то есть сколько раз их нужно выполнить последовательно, чтобы получить тождественное преобразование).

Таблица преобразований треугольника.

ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, возможно, это прозвучит глупо, но пока вы заполняли таблицу, я вспомнил «Меланхолию I» Дюрера, одну из трех его «Мастерских гравюр», где изображена крылатая фигура, погруженная в раздумья о геометрии. Как вам известно, на гравюре можно видеть магический квадрат. Сумма чисел во всех его строках, столбцах, а также на диагоналях и некоторых других линиях одинакова и равна 34. Имеет ли этот магический квадрат что-то общее с вашими таблицами умножения?

51

ВЕЙЛЬ: Боюсь, что почти ничего. Важнейшее отличие между ними заключается в том, что в нашей «таблице умножения» все строки и столбцы содержат одни и те же элементы, а в магическом квадрате числа никогда не повторяются. В первой строке квадрата Дюрера записаны числа 16, 3, 2 и 13, во второй — 9, 10, 11 и 8: квадрат красив как раз тем, что все числа в нем различны. Наша таблица скорее напоминает латинский квадрат: символы содержатся в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Пример:

Далее я объясню, что таблица умножения для группы с конечным числом элементов всегда будет латинским квадратом.

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно. Давайте вернемся к группам.

ВЕЙЛЬ: Я привел столь подробный пример с преобразованиями треугольника для того, чтобы теперь мы смогли вместе определить их внутреннюю структуру, то есть то общее, что остается, когда мы отбросим все частные случаи. Не будем откладывать дело в долгий ящик и начнем с того, что избавимся от треугольника.

Напомню, что предмет нашего изучения — не фигура сама по себе, а ряд ее преобразований, которые мы обозначили через R, S и так далее. Заменим их произвольным множеством элементов (конечным или бесконечным), которое будем обозначать буквой G. В примере с преобразованиями треугольника мы можем объединить два движения так, что получится третье, которое будет обладать теми же свойствами. Сохраним это условие: для каждой пары элементов G должна быть определена операция, результат которой также будет принадлежать G. Ранее мы обозначали эту операцию, просто записывая два члена рядом. Теперь введем для обозначения этой операции какой-нибудь новый символ, например *. Так, а * b будет обозначать результат умножения а на b согласно свойствам групповой операции.

На этом мы могли бы остановиться, но подобная структура не содержит достаточно ограничений, чтобы гарантировать наличие некоторых интересных свойств.