Живой учебник геометрии - Яков Перельман

Но не всегда бывает возможно и удобно накладывать сеть квадратов на измеряемую фигуру. Нельзя, например, измерять таким образом площадь пола или земельного участка. В таких случаях, вместо прямого измерения площади, прибегают к неприятному, состоящему в том, что измеряют только длину некоторых л и н и й фигуры и производят над полученными числами определенные действия. В дальнейшем мы покажем, как это делается.

Повторительные вопросы

В каких мерах определяют площадь фигур? – Что такое палетка и как ею пользуются?

§ 25. Площадь прямоугольника

Пусть требуется определить площадь какого-нибудь прямоугольника, например, ABDC(черт. 86). Измеряют линейной единицей, напр. метром, длину этого участка. Предположим, что метр укладывается в длине 5 раз. Разделим участок на поперечные полоски шириною в метр, как показано на черт. 87. Таких полос получится, очевидно, 5. Далее измерим метром ширину участка; пусть она равна 3 метрам. Разделим участок на продольные полосы в 1 метр ширины, как показано на черт. 88; их получится, конечно, 3. Каждая из пяти поперечных полос рассечется при этом на 3 квадратных метра, а весь участок будет разделен на 5 Ч 3=15 квадратов со стороною в 1 метр: мы узнали, что участок заключает в себе 15 кв. метров. Но мы могли получить то же число 15, не разграфляя участка, а только перемножив его длину на его ширину. Итак, чтобы узнать, сколько квадратных метров в прямоугольнике, нужно измерить его длину, его ширину и перемножить оба числа.

В рассмотренном случае единица длины – метр – укладывалась в обеих сторонах прямоугольника ц е л о е число раз. В подробных учебниках математики доказывается, что установленное сейчас правило верно и тогда, когда стороны прямоугольника не содержат целого числа единиц длины. Во всех случаях:

П л о щ а д ь п р я м о у г о л ь н и к а р а в н а

п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы н а ш и р и н у,

и л и, к а к г о в о р я т в г е о м е т р и и, – е г о

«о с н о в а н и я» н а е г о «в ы с о т у».

Если длина основания прямоугольника обозначена буквою а, а длина высоты – буквою b, то площадь его S равна

S = a ? b,

или просто S= ab, потому что знак умножения между буквами не ставится.

Легко сообразить, что для определения площади к в а д р а т а надо умножить длину его стороны на себя, т. е. «возвысить в квадрат». Другими словами:

П л о щ а д ь к в а д р а т а р а в н а к в а д р а т у е г о с т о р о н ы. Если длина стороны квадрата а, то площадь его S равна

S= a ? a= a2.

Зная это, можно установить соотношение между различными квадратными единицами. Например, в квадратном метре содержится квадратных дециметров 10 Ч 10, т. е. 100, а квадратных сантиметров 100 Ч 100, т. е. 10 000, – потому что линейный сантиметр укладывается в стороне квадратного дециметра 10 раз, а квадратного метра-100 раз.

Для измерения земельных участков употребляется особая мера – г е к т а р, содержащая 10 000 квадратных метров. Квадратный участок со стороною 100 метров имеет площадь в 1 гектар; прямоугольный участок с основанием 200 метров и высотою 150 метров имеет площадь 200 Ч 150, т. е. в 30 000 кв. м или 3 гектара. Обширные площади – например, округа и районы, – измеряются

к в а д р а т н ы м и к и л о м е т р а м и.

Сокращенное обозначение квадратных мер таково:

квадр. метр………………………………. кв. м или м2

квадр. дециметр…………………………. кв. дм или дм2

квадр. сантиметр………………………… кв. см или см2

квадр. миллиметр……………………….. кв. мм или мм2

гектар…………………………………….. га

Повторительные вопросы

Как вычисляется площадь прямоугольника? Квадрата? – Сколько кв. см в кв. м? Сколько кв. мм в кв. м? – Что такое гектар? – Сколько гектаров в кв. км? Как сокращенно обозначают квадратные меры?

Применения

20. Требуется окрасить иол комнаты, изображенный на черт. 6. Размеры, обозначены в метрах. Сколько понадобится для этого материалов и рабочей силы, если известно, что для окраски одного кв. метра деревянных полов с замазкой щелей и сучьев по прежде окрашенному, за два, требуется (по Урочному Положению):

Маляров…………………………………….. 0,044

Олифы, килограммов…………………….… 0,18

Охры светлой, кг…………………………… 0;099

Замазки, кг…………………………………0,00225

Пемзы, кг………………………………….. 0,0009.

Р е ш е н и е. Площадь пола равна 8 ? 12 = 96 кв. м.

Расход материалов и рабочей силы таков

Маляров. . . . . . . . 0,044 ? 96 = 4,2[3]

Олифы. . . . . . . . 0,18 ? 96= 17 кг

Охры. . . . . . . . . 0,099 ? 96 – 9,9 кг

Замазки. . . . . . . . 0.00225 ? 96 = 0,22 кг

Пемзы. . . . . . . . . 0,0009 ? 96 = 0,09 кг.

21. Составьте ведомость расхода рабочей силы и материалов для оклейки обоями комнаты предыдущ. задачи. На оклейку стен простыми обоями с бордюрами требуется (по Уроч. Положению) на кв. метр:

Маляров или обойщиков………………………… 0,044

Обоев (шир. 44 см) кусков……………………… 0,264

Бордюр (по расчету)

Крахмала граммов………………………………. 90.

Р е ш е н и е – по образцу, указанному в предыдущей задаче. Заметим лишь, что при подсчете необходимого количества обоев на практике отверстия стен из их площади не вычитают (так как при пригонке фигур в смежных полотнищах часть обоев теряется).

§ 26. Площадь треугольника

Рассмотрим сначала, как вычисляется площадь п р ям о у г о л ь н о г о треугольника. Пусть требуется определить площадь треугольника ABC(черт. 89), в котором угол В – прямой. Проведем через вершины А и С прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим (черт. 90) прямоугольник ABCD(почему эта фигура – прямоугольник?), который делится диагональю АС на два равные треугольника (почему?). Площадь этого прямоугольника равна ah; площадь же нашего треугольника составляет половину площади прямоугольника, т. е. равна 1/2 ah. Итак, площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, заключающих прямой угол.

Пусть теперь требуется определить площадь треугольника косоугольного (т. е. не прямоугольного), – напр. ABC(черт. 91). Проводим через одну из его вершин перпендикуляр к противоположной стороне; такой перпендикуляр называется в ы с о т о ю этого треугольника, а сторона, к которой он проведен – о с н о в а н и е м треугольника. Обозначим высоту через h, а отрезки, на которые она делит основание, через pи q. Площадь прямоугольного треугольника ABD, как мы уже знаем, равна 1/2 ph; площадь ВDC = 1/2 qh. Площадь S треугольника ABC равна сумме этих площадей:[4] S = 1/2 ph+ 1/2 qh= 1/2 h(р + q). Но р + q = а; следовательно S= 1/2 ah.

Рассуждение это нельзя прямо применить к треугольнику с тупым углом (черт. 92), потому что перпендикуляр CD встречает не основание АВ, а его продолжение. В этом случае приходится рассуждать иначе. Обозначим отрезок AD через p, BD– через, q, так что основание а треугольника равна p– q. Площадь нашего треугольника АВС равна р а з н о с т и площадей двух треугольников ADC– BDC= 1/2 ph– 1/2 qh= 1/2 h(p– q) = 1/2 ah.

Итак, во всех случаях площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту.

Отсюда следует, что треугольники с равными основаниями и высотами имеют одинаковые площади, или, как говорят,

р а в н о в е л и к и.

Равновеликими вообще называются фигуры, имеющие равные площади, хотя бы сами фигуры не были равны (т. е. не совпадали при наложении).

Повторительные вопросы

Что называется высотою треугольника? Основанием треугольника? – Сколько высот можно провести в одном треугольнике? – Начертите треугольник с тупым углом и проведите в нем все высоты. – Как вычисляется площадь треугольника? Как выразить это правило формулой? – Какие фигуры называются равновеликими?

Применения

22. Огород имеет форму треугольника с основанием 13,4 м и высокою 37,2 м… Сколько (по весу) требуется семян, чтобы засадить его капустой, если на кв. м идет 0,5 грамма семян?