5a. Электричество и магнетизм - Ричард Фейнман

§ 7. Метод изображений

Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверх­ности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмот­рим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности

Фиг. 6.8. Линии поля и эквипо­тенциальные поверхности двух точечных зарядов.

накладывается на эту поверх­ность. Если его действитель­но наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет даже знать, что он там лежит, потому что ничего от его появле­ния не изменилось.

А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы ре­шили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на экви­потенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в Гл. 5, § 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, сна­ружи поле всегда одно и то же. Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Вы­ходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверх­ности проводника нормально к ней.

Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом q и воображаемым точечным зарядом —q, помещенным в подходящем месте. А точечный заряд, ко­торый мы представили себе существующим за проводящей по­верхностью, так и называется зарядом-изображением.

В книгах можно найти длинные перечни решений задачи электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчи­тать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу

Фиг. 6.9. Поле вне проводника, изогнутого вдоль эквипотенци­альной поверхности А на пре­дыдущем рисунке.

с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появля­ются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну и написал работу, в которой указал, что поля снаружи про­водника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.

§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости

В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность В (см. фиг. 6.8). Она поможет нам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этого зачеркнем просто левую часть фигуры. Линии поля нашего решения показаны на фиг. 6.10. Заметьте, что плоскость обладает нулевым потенциалом, потому что она находится как раз на полпути между зарядами. Мы решили за­дачу о положительном заряде вблизи заземленной проводящей плоскости.

Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного заряда, ими являются какие-то отри­цательные заряды, наведенные на проводящей плоскости и при­тянутые положительным зарядом (с каких-то далеких расстоя­ний). Но теперь пусть вам захотелось узнать (то ли для техни­ческих целей, то ли просто из любопытства), как распределены эти отрицательные заряды по поверхности. Поверхностную плотность заряда вы сможете узнать, использовав результат, полученный в гл. 5, § 6 при помощи теоремы Гаусса. Нормаль­ная составляющая электрического поля возле самого провод­ника равна плотности поверхностного заряда а, деленной на e0. Мы можем узнать плотность заряда в каждой точке поверхности, отправляясь назад от нормальной составляющей электриче­ского поля на поверхности. А ее мы знаем, потому что вообще нам известно поле в любой точке.

Фиг. 6.10. Поле заряда, помещенного близ плоской проводящей поверхности, найденное методом изображений.

Рассмотрим точку поверхности на расстоянии r от той точки, которая расположена прямо против положительного заряда (см. фиг. 6.10). Электрическое поле в этой точке нор­мально к поверхности и направлено внутрь нее. Составляющая поля положительного точечного заряда, нормальная к поверх­ности, равна

(6.28)

К ней мы должны добавить электрическое поле, созданное отри­цательным зеркальным зарядом. Это удвоит нормальную со­ставляющую (и уничтожит все прочие), так что плотность за­ряда 0 в произвольной точке поверхности будет равна

(6.29)

Проинтегрировав а по всей поверхности, мы сможем прове­рить наши расчеты. Мы должны получить весь наведенный заряд, т. е. -q.

Еще один вопрос: действует ли на точечный заряд сила? Да, потому что наведенные на плоскости отрицательные заряды должны его притягивать. А раз мы знаем, каковы эти поверх­ностные заряды [по формуле (6.29)], то можем с помощью интег­рирования подсчитать силу, действующую на наш положитель­ный заряд. Но мы ведь знаем также, что сила, действующая на него, в точности такая, какой она была бы, если бы вместо плоскости был один только отрицательный зеркальный заряд, потому что поля поблизости от них в обоих случаях одинаковы. Точечный заряд тем самым испытывает силу притяжения к пло­скости, равную

(6.30)

Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам.

§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы

А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11). Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у поля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотен­циальных поверхностей как раз и есть сфера. Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения и нужную его величину, может быть, тогда мы и сможем подо­гнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере.

Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на за­земленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у заряда-изображе­ния, помещенного в ука­занной точке.

Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту.

Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальная поверх­ность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда q на расстояние b. Поместите изображение заряда величины q'=-q(a/b) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии a2/b от центра. Потенциал сферы пусть будет нуль.

Математически причина состоит в том, что сфера есть гео­метрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потен­циал в точке Р от зарядов q и q' пропорционален сумме

и будет равен нулю во всех точках, для которых

Если мы помещаем q' на расстоянии а2!b от центра, то отноше­ние r2/r1 равно постоянной величине a/b. Тогда если

(6.31)

то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю.

А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потенциалом? Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд слу­чайно окажется равным q'!Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней заряды окажутся в точности такими, как на­до. Ну, а если она заизолирована и мы не снабдили ее никаким зарядом? Или снабдили ее зарядом Q№q'? Или она находится под напряжением, не равным нулю? Такие вопросы разрешаются сходу. Всегда ведь можно добавить в центр сферы точечный заряд q". По принципу наложения сфера всегда останется эк­випотенциальной, а изменится только величина потенциала. Если у нас, скажем, есть проводящая сфера, предваритель­но разряженная и изолированная от всего, и мы поднесли к ней положительный заряд q, то суммарный заряд сферы останется равным нулю. Решение можно найти, взяв тот же, что и прежде, заряд-изображение q' и вдобавок к нему заряд в центре сферы, такой, что