Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

Для «определения параллельности» внутренними средствами, как выясняется, недостаточно самих по себе двух точек, в которых мы желаем определить параллельные направления: нужно еще выбрать какую-то линию, их соединяющую, как показано на рис. 6.10. Математическое знание под названием параллельный перенос тогда сообщает, что значит перенести стрелку из одной точки в другую вдоль выбранной линии. Правда, результат параллельного переноса зависит от этой линии! В плоском пространстве мы привыкли к более простой ситуации: если две стрелки, прикрепленные к разным точкам, параллельны, то они «просто» параллельны, вне зависимости от каких бы то ни было кривых, соединяющих выбранные точки. Но тут уж ничего не поделаешь, в искривленных геометриях нельзя избежать зависимости от кривой, вдоль которой происходит параллельный перенос. (А если этой зависимости совсем нет, то это-то и означает, что геометрия оказалась плоской; подробности впереди.) И в нашем случае математическое определение параллельного переноса должно быть согласовано с тем, что лежит в основе всего построения искривленного пространства-времени: со свободным падением. Поэтому мы все-таки обращаемся к локальным наблюдателям с заданием превратить их наблюдения за свободным падением в знание о том, каким образом стрелки/направления следует параллельно переносить вдоль кривых. Мы покупаем у них это знание в виде пакета услуг, а после этого о локальных наблюдателях наконец забываем.

Рис. 6.10. Параллельный перенос вектора, заданного в точке A, вдоль кривой. Кривая проведена на двумерной искривленной поверхности. Задача параллельного переноса – в любой точке кривой указать векторы, которые считаются параллельными исходно выбранному вектору

Толпе локальных наблюдателей, оказывается, по силам определить процедуру параллельного переноса вдоль кривой в пространстве-времени, используя конструкцию, которая называется лестницей Шильда[105]. Это система «параллелограммов», точнее, того, что заменяет параллелограммы в мире, где вместо прямых линий – геодезические. Для простоты мы ограничимся такими кривыми в пространстве-времени, которые в принципе могут описывать движение какого-нибудь тела – под действием чего угодно, но все-таки с досветовыми скоростями. На рис. 6.11 слева изображена такая кривая, а из точки A0 на ней торчит стрелка: она определяет направление, которое и нужно перенести вдоль кривой. Идея в том, чтобы построить «параллелограмм», одна сторона которого – заданная стрелка, а другая – направление на некоторую «следующую» точку на кривой; тогда сторона, противоположная заданной стрелке, и окажется ее параллельным переносом в ту другую точку. Строить «параллелограмм» предлагается по двум диагоналям, пользуясь тем, что (как и в настоящем параллелограмме) точка их пересечения делит каждую из них пополам. Ключевое же обстоятельство состоит в том, что линии, используемые во всех построениях, включая и диагонали, – отрезки геодезических! Это означает, что локальные наблюдатели проводят их, отправляя тела в свободное падение[106]. Получающееся отсюда правило параллельного переноса в результате «знает» о том, как происходит свободное падение. Поэтому и искривленное пространство-время, по существу определяемое параллельным переносом, оказывается пригодным для описания гравитации, служащей причиной этого вида движения, – чего мы, собственно говоря, от искривленного пространства-времени и хотели.

Рис. 6.11. Построение лестницы Шильда для параллельного переноса какого-то направления вдоль произвольной кривой. Наблюдатели создают «параллелограммы» из отрезков геодезических

Построение «параллелограммов» из коротких отрезков геодезических называется лестницей Шильда, потому что процедура, приводящая к параллелограмму на рис. 6.11 справа, повторяется, и вдоль кривой появляются новые параллелограммы, составленные из отрезков геодезических. Если лестницу Шильда строить в плоском пространстве-времени, то она вся состоит из настоящих параллелограммов, поэтому перенос получается параллельным в привычном нам смысле. Используя же вместо прямых отрезки геодезических, мы получаем обобщение на случай, когда настоящих прямых нет, а с параллельностью заранее ничего не ясно.

Рис. 6.12. Левая стрелка – касательный вектор к кривой. Если его перенести параллельно в какую-то другую точку кривой, то даже в плоском пространстве (где параллельный перенос происходит по правилу параллелограмма) он перестает быть касательным к кривой

Мы покупаем услугу «безлимитный параллельный перенос любой стрелки вдоль любой кривой» в готовом виде и больше не вникаем в хлопоты локальных наблюдателей по построению лестниц Шильда. Параллельный перенос как система правил, определяющих, как переносится любая стрелка вдоль любой кривой, – это главное математическое средство, позволяющее разбираться с тем, что происходит в искривленных геометриях. Наши траты быстро окупаются – уже одним тем, что у нас появляется способ проводить «длинные» геодезические (далеко за пределы одной карты). Дело в том, что параллельный перенос позволяет выразить все то, чего мы хотим от геодезических – чтобы они были «самыми прямыми из возможных», – в виде уравнений. Изящная идея основана на совсем простом наблюдении. Параллельному переносу вдоль кривой можно подвергнуть вектор, касательный к кривой в выбранной точке, как показано на рис. 6.12; при этом, однако, нет никаких причин, по которым перенесенный вектор оказался бы тоже касательным: произвольная кривая «поворачивает куда захочет», никак не сообразуясь с правилами параллельного переноса. В плоском пространстве, правда, есть одно исключение: если сама выбранная кривая является прямой линией, то касательный вектор остается касательным при параллельном переносе. Звучит это настолько банально, что вроде бы и внимания не заслуживает, ведь касательный вектор к прямой направлен вдоль самой этой прямой и уж, конечно, остается касательным, когда его переносят параллельно. Пусть банально; но в таком виде это свойство обобщается на все случаи, где имеется параллельный перенос!

Геодезические становятся решениями уравнений!

Геодезические – «самые прямые» при заданном параллельном переносе

Геодезические – это в точности такие кривые, что касательный вектор к каждой из них остается касательным, когда его параллельно переносят вдоль кривой. Именно в этом смысле геодезические – «самые прямые из возможных»: они «менее всего поворачивают», но измеряется это «менее всего» с помощью правил параллельного переноса. Это свойство и выражается в виде уравнения: решить его – значит найти кривую, касательный вектор к которой остается касательным при параллельном переносе вдоль нее. Записать уравнение для геодезических несложно, если мы заранее озаботились приобретением параллельного переноса – тоже, конечно, на языке формул[107].

И вот награда за все пережитое: фраза «пространство-время говорит материи, как ей двигаться» теперь