Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

К концу жизни здоровье Римана начало ухудшаться. Между 1862 годом и смертью, последовавшей в 1866 году, он несколько раз ездил в Италию на лечение. В одну из поездок он навестил своего знакомого Бетти, с которым встречался в Гёттингене в 1858 году. Бетти был профессором в Пизанском университете. Он также преподавал в высшей школе, был членом парламента и сенатором. Он был известным математиком и одаренным преподавателем и сыграл важную роль в возрождении математики в Италии после ее объединения.

Будучи в Италии, Риман беседовал с Бетти о том, как обобщить числа связности на многообразия более высокой размерности. Трудно сказать, кто из них какой вклад внес в теорию. В 1871 году именно Бетти опубликовал эти обобщения, но из писем и заметок видно, что Риман многое знал о них еще в 1852 году.

Идея обобщения заключается в том, чтобы по аналогии с тем, как Риман подсчитывал 1-мерные разрезы поверхности, подсчитать для n-мерного многообразия максимальное число m-мерных многообразий (подчиняющихся некоторым сложным условиям) для каждого m ≤ n. Это даст числа связности bm для всех m от 0 до n. В этих обозначениях b1 является римановым числом связности.

Рис. 22.9. Энрико Бетти

Бетти доказал, что bm — топологические инварианты многообразия. Однако работать с n-мерными многообразиями трудно, и позже выяснилось, что в определениях и рассуждениях Бетти имелись тонкие ошибки. Тем не менее работа Бетти стала исключительно важным шагом на пути к пониманию топологии n-мерных многообразий.

Исправить ошибки Бетти вознамерился Анри Пуанкаре. Он сделал это — и гораздо больше.

Приложения к главе

196. Scholz (1999).

197. Brouwer (1911).

198. Cauchy (1813a).

199. Schlafli (1901).

200. Breitenberger (1999).

201. Listing (1847), Listing (1861–1862).

202. Tait (1884).

203. Riemann (1851).

Глава 23

Анри Пуанкаре и взлет топологии

Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике.

— Г. Х. Харди204

Если формулы Эйлера, касающиеся кёнигсбергских мостов и многогранников, знаменуют рождение топологии, а работы Листинга, Мёбиуса, Римана, Клейна и других математиков XIX века — годы ее юности, то признаком наступления зрелого возраста стали труды Анри Пуанкаре. И до него существовали теоремы, которые сегодня мы относим к топологическим, но лишь в самом конце XIX века Пуанкаре систематизировал эту область.

Изучая полное собрание его трудов, мы замечаем общую тему: топологический взгляд на математику. Быть может, этот качественный подход к предмету объясняется его нелюбовью (или, как он сам говорил, затруднениями) к математическим вычислениям. А быть может, это реакция на печально известное отсутствие художественных способностей (вспомните, он называл геометрию «искусством рассуждений о плохо нарисованных фигурах»). Как бы то ни было, Пуанкаре в конце концов сам увидел эту общую черту и написал: «К какой бы задаче я ни приступал, она приводила меня к Analysis Situs»205.

Пуанкаре имел в виду первопроходческую 123-страничную статью Analysis Situs206, написанную в 1895 году. За последующие десять лет он написал ее продолжение в пяти основополагающих частях, которые сам называл дополнениями207. Об этих шести статьях Жан Дьедонне писал:

Как и во многих своих статьях, он дал волю своему воображению и необычайно развитой «интуиции», которая очень редко уводила его не в ту сторону; почти каждый раздел содержит оригинальную идею. Но не следует нам искать точных определений, и зачастую приходится из контекста догадываться, что он имел в виду. Многие результаты он вообще оставил без доказательства, а если и давал себе труд привести доказательство, то чуть ли не каждый аргумент вызывает сомнения. Эта статья на самом деле является чертежом для будущих разработок совершенно новых идей, и чтобы под каждую из них подвести твердые основания, потребовалось создать новые методы208.

Представьте себе Джонни-яблочное семечко[17], который бродил по пустошам и разбрасывал семена, из которых впоследствии выросли плодоносящие сады. Вряд ли будет преувеличением сказать, что почти все исследования по топологии до начала 1930-х годов выросли из этой работы Пуанкаре.

Один из его современников писал: «В области Analysis Situs Пуанкаре недавно принес нам множество новых результатов, но в то же время поднял множество новых вопросов, которые все еще ждут своего разрешения»209. Пробелы и прорехи в рассуждениях Пуанкаре действительно были, и для их устранения понадобилось время. Интуитивный подход к предмету, характерный для Пуанкаре и его предшественников, нужно было подкрепить солидными математическими аргументами. Строгость и единый стандарт доказательств в топологии появились примерно в 1910 году, и еще несколько десятилетий ушло на возведение прочной конструкции по чертежам Пуанкаре.

Один из многих важных вкладов Пуанкаре — изобретение понятия гомологии. Это остроумный способ формализовать изучение римановых чисел связности и их многомерных обобщений Бетти. В наши дни гомология — одно из основных средств анализа многообразий. Пуанкаре ввел это понятие в Analysis Situs и уточнял в каждом дополнении. Потребовалось примерно тридцать лет, чтобы теория гомологий приняла современную форму.

Описание теории гомологий — все равно, в современных терминах или по Пуанкаре — выходит за рамки этой книги. Вместо этого мы ограничимся поверхностным изложением, полагаясь на интуицию. Мы обсудим не n-мерный вариант, а лишь 1-мерную гомологию на поверхностях.

Один из способов интерпретировать 1-мерную гомологию заключается в том, чтобы взглянуть на петли, нарисованные на поверхности. Не будем фиксировать петлю, а позволим ей перемещаться по поверхности. Она может как угодно растягиваться, укорачиваться и извиваться, лишь бы не разрывалась и не покидала поверхность.

Простейшей из возможных является топологически тривиальная петля, которую можно стянуть в точку. Она может произвольно виться по поверхности, но не должна окружать дырки. Например, поскольку в сфере нет дырок, любую петлю, нарисованную на ее поверхности, можно стянуть в точку.

Простейшие поверхности — это те, на которых, как на сфере, любая петля топологически тривиальна. Такая поверхность называется односвязной. Как видно по рис. 23.1, диск и сфера односвязные, а кольцо и тор — нет.

Рис. 23.1. Диск и сфера — односвязные поверхности, а кольцо и тор — нет

Из теоремы классификации поверхностей мы знаем, что сфера — единственная односвязная замкнутая поверхность. На всех прочих имеется бесконечно много нетривиальных петель. Пуанкаре понял, что важно подсчитывать существенные, или независимые нетривиальные, циклы