Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

но зрелые). Этот девиз действительно сопровождал Гаусса на протяжении всей карьеры. В отличие от плодовитого Эйлера, Гаусс не спешил публиковать свои работы. Он никогда не отдавал в печать тривиальных результатов, настаивая на том, что каждая публикация должна быть шедевром. Он говорил: «Вы знаете, что я пишу медленно. Это в основном потому, что я не бываю удовлетворен, пока не выскажу как можно больше в немногих словах, а писать быстро отнимает гораздо больше времени, чем писать со всеми деталями»191. Гаусс оставил свой след во многих науках: астрономии, геодезии, теории поверхностей, конформных отображениях, математической физике, теории чисел, теории вероятностей, топологии, дифференциальной геометрии и комплексном анализе.

Из-за стремления к совершенству Гаусс не опубликовал много блестящих результатов. Его математический дневник (Notizenjournal), обнаруженный через сорок три года после смерти, — кладезь математических идей. Если бы Гаусс опубликовал только часть этих результатов и ничего больше, то и тогда его запомнили бы как влиятельного математика. Печально сознавать, что математики годами трудились, только чтобы заново открыть идеи, уже известные Гауссу. Интересно, как далеко продвинулась бы математика XIX века, если бы Гаусс с большей охотой обнародовал свои результаты.

После смерти герцога Гаусс был вынужден занять пост директора Гёттингенской обсерватории. Значительную часть последних двадцати лет жизни он потратил на занятия астрономией в обсерватории. Он дожил до 78 лет и мирно упокоился 23 февраля 1855 года.

Применяя подход Гаусса к измерению кривизны одной величиной k = k1k2, мы можем сказать, что кривизна в точке положительна, отрицательна или равна нулю. Возвращаясь к рис. 21.3, мы видим, что если обе кривые, как края миски, загибаются в сторону нормального вектора (или в направлении от него), то знаки k1 и k2 одинаковы, и мы имеем положительную кривизну. С другой стороны, если, подобно седлу, одна кривая загибается в направлении нормального вектора, а другая — в направлении от него, то знаки k1 и k2 противоположны, и кривизна отрицательна. Если одна или обе главные кривизны равны нулю, как в случае цилиндра или плоскости, то кривизна нулевая.

Важно подчеркнуть, что кривизна измеряется в одной точке. На типичной поверхности имеются области положительной, отрицательной и нулевой кривизны. Например, тор на рис. 21.5 имеет положительную кривизну в области, наиболее удаленной от центра, отрицательную — в области, ближайшей к центру, и нулевую — на границе этих областей. Существуют поверхности постоянной кривизны. Сфера (не топологическая, а настоящая) имеет постоянную положительную кривизну, а плоскость и цилиндр — нулевую кривизну. Самый известный пример поверхности постоянной отрицательной кривизны — поверхность в форме слуховой трубки, называемая псевдосферой, — не потому, что она похожа на сферу, а потому, что имеет постоянную кривизну.

Гауссова кривизна, площадь и угловой избыток тесно связаны между собой, и именно эту связь мы должны понять. Мы уже видели, что кривизна и угловой избыток связаны. На рис. 20.9 показан геодезический треугольник на сфере — с угловым избытком и на седле — с угловым недостатком. Чем менее искривлена поверхность, тем больше она напоминает плоскость и тем больше треугольник на поверхности похож на плоский треугольник. При положительной кривизне имеет место угловой избыток, а при отрицательной — угловой недостаток.

Рис. 21.5. Поверхность (тор) переменной кривизны: положительной, отрицательной и нулевой. У других поверхностей постоянная положительная кривизна (сфера), нулевая кривизна (цилиндр) и постоянная отрицательная кривизна (псевдосфера)

Также должно быть понятно, что размер имеет значение. На очень маленькие треугольники кривизна поверхности почти не влияет (представьте себе два равносторонних треугольника на земле, один с длиной стороны 1000 км, а другой — 1 см). Если увеличивать масштаб поверхности, то она будет казаться все более и более плоской. Чем меньше треугольник, тем ближе его угловой избыток к нулю.

Приведем еще одну иллюстрацию связи между кривизной и площадью. Возьмем участок поверхности с положительной кривизной, например кусочек луковичной шелухи или капустного листа. Попытавшись ровно разложить его на столе, мы обнаружим, что в середине слишком много материала. К сожалению, внешний край луковичной шелухи порвется, если попытаться ее разгладить. Именно поэтому на обычной (меркаторской) проекции Земли кажется, будто Гренландия размером с континентальную часть США, хотя на самом деле на территории нижних сорока восьми штатов легко уместились бы три таких острова, как Гренландия. Для поверхностей отрицательной кривизны мы сталкиваемся с прямо противоположной проблемой. Если бы мы отрезали кусочек седловидной поверхности, то при попытке расправить его на столе оказалось бы слишком много материала по краям. Внутренняя часть диска пошла бы морщинами.

Изучив связь между кривизной, площадью и угловым избытком, мы сможем получить другое определение гауссовой кривизны. Рассмотрим геодезический треугольник △, содержащий точку x, с внутренними углами a, b, c. Угловой избыток этого треугольника, E(△) = a + b + c — π, является хорошей мерой кривизны в точке x. Проблема в том, что, как мы уже отметили, при уменьшении треугольника величина E(△) стремится к нулю. Поэтому нужно масштабировать угловой избыток на площадь. Вместо того чтобы работать с E(△), мы будем использовать величину E(△)/A(△), где A(△) — площадь треугольника △. Оказывается, что если уменьшать △, устремив его к х, то величина E(△)/A(△) будет стремиться к гауссовой кривизне в точке x.

В такой формулировке гауссову кривизну особенно легко вычислить для поверхностей постоянной кривизны. Поскольку кривизна постоянна, то она равна просто E(△)/A(△), где △ — произвольный геодезический треугольник (необязательно сжимать треугольник в точку). Например, пусть △ — октант сферы радиуса r. В таком треугольнике три прямых угла, поэтому угловой избыток равен E(△) = 3(π/2) — π = π/2, а площадь A(△) = (1/8)4πr2 = πr2/2. Следовательно, в каждой точке сферы гауссова кривизна равна (π/2)/(πr2/2) = 1/r2, и, значит, при увеличении радиуса сферы ее кривизна уменьшается. Кривизну бильярдного шара увидеть легко, но о кривизне Земли этого не скажешь.

Из такого определения гауссовой кривизны можно сделать еще один вывод. Рассмотрим лист бумаги, лежащий на столе. Очевидно, что его гауссова кривизна равна нулю. Если свернуть его в цилиндр, то геометрия изменится, но гауссова кривизна по-прежнему будет равна нулю. Как ни старайся, превратить лист бумаги в сферу положительной кривизны или седло отрицательной кривизны не получится. При любой деформации листа бумаги его кривизна останется нулевой. На техническом жаргоне эту мысль можно выразить, сказав, что мы можем изменять внешнюю кривизну листа, но никогда не сумеем изменить его внутреннюю кривизну.

Две главные кривизны k1 и k2 измеряют внешнюю кривизну поверхности — они зависят от того, как поверхность располагается в трехмерном пространстве. Для плоского листа