Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

Формула Декарта и теорема об угловом избытке — красивые теоремы, показывающие, что топология в некотором смысле управляет геометрией. В следующей главе мы рассмотрим еще один пример. Мы увидим, что полная кривизна поверхности зависит от ее топологии, а та тесно связана с эйлеровой характеристикой.

Приложения к главе

183. Shakespeare (1992), 36.

184. Polya (1954), 57–58.

185. Hopf (1935).

186. Quoted in Federico (1982), 43.

187. Euler (1758b); Euler (1758a).

Глава 21

Топология искривленных поверхностей

Если бы другие размышляли над математическими истинами так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бы к моим открытиям.

— Карл Фридрих Гаусс188

Один из самых фундаментальных вопросов в геометрии плоских кривых — кривизна. Кривизна в точке x — это число k, измеряющее «крутизну» поворота в этой точке, т. е. скорость изменения направления касательного вектора. Пусть в точке x построен нормальный вектор n к кривой; если кривая изгибается в направлении n, то k > 0, если в направлении, противоположном n, то k < 0, в противном случае к = 0 (см. рис. 21.1). Чем круче изгибается кривая, тем больше (по абсолютной величине k).

Рис. 21.1. Кривые c k > 0, k < 0, k = 0 и k = 0 (слева направо)

По теореме Жордана, у простой замкнутой кривой на плоскости есть внутренность и внешность. Поэтому можно выбрать нормальные векторы во всех точках кривой, так что все они будут указывать внутрь. После этого мы сможем вычислить кривизну в каждой точке кривой. Обычно кривизна изменяется от точки к точке (см. рис. 21.2). Просуммировав кривизну по всем точкам кривой, мы получим полную кривизну. Детали этого вычисления выходят за рамки книги, но любой студент, изучавший математический анализ, сразу поймет, что, коль скоро кривизна изменяется непрерывно, сумма, о которой идет речь, — не что иное, как интеграл кривизны. Имеет место следующая теорема[12].

Теорема о полной кривизне кривой

Полная кривизна любой простой замкнутой гладкой плоской кривой равна 2π.

Рис. 21.2. Кривая с областями положительной, отрицательной и нулевой кривизны; нормальные векторы указывают внутрь

Иными словами, полная кривизна всех простых замкнутых гладких кривых одинакова! Если бросить на стол веревочную петлю, так чтобы она не пересекала самое себя, то области отрицательной и положительной кривизны компенсируют друг друга, так что полная кривизна будет равна 2π. То есть факт гомеоморфности окружности однозначно определяет полную кривизну. Снова мы видим, как топология управляет геометрией.

Мы не станем доказывать эту теорему, но она тесно связана с теоремой о вращающихся касательных из предыдущей главы. И снова студент, знакомый с математическим анализом, заметит, что, поскольку мы суммируем скорость изменения вращающихся касательных, полная кривизна просто равна полному изменению угла касательного вектора, т. е. 2π.

Можно рассматривать эту теорему как еще одно обобщение теоремы о сумме внешних углов многоугольника. Вдоль сторон многоугольника кривизна равна нулю, а вся его кривизна сосредоточена в вершинах и принимает вид внешних углов. Полная кривизна равна 2π.

Теперь перейдем от кривых к поверхностям. Поскольку мы изучаем геометрические свойства поверхностей, то должны считать их жесткими, а не сделанными из резины, как в топологии. Будем также предполагать, что поверхности гладкие, не имеют резких складок и углов.

Как и для кривых на плоскости, мы исследуем кривизну поверхностей в трехмерном пространстве. Снова выберем вектор n, нормальный к поверхности в точке x. Затем рассмотрим плоскость, проходящую через x и параллельную n. Пересечением этой плоскости с поверхностью является некоторая кривая, кривизну которой можно вычислить. Обычно кривизна кривых для разных плоскостей различается. Наименьшее и наибольшее значения k1 и k2 называются главными кривизнами поверхности в точке x (см. рис. 21.3). В 1760 году Эйлер доказал, что главным кривизнам соответствуют перпендикулярные плоскости189.

Рис. 21.3. Поверхности, для которых k1, k2 < 0 (слева), k1 > 0, k2 < 0 (в центре) и k1 = 0, k2 > 0 (справа)

Именно таким способом геометры измеряли кривизну поверхностей, пока Гаусс не внес простую, но критически важную модификацию. Он перемножил главные кривизны и получил единственное значение кривизны, которое теперь называется гауссовой кривизной: k = k1k2. Эта, на первый взгляд, тривиальная операция, которая дает величину, содержащую меньше информации, чем две главные кривизны по отдельности, помогла математикам лучше понять природу кривизны поверхностей.

Как ни странно, большинство великих математиков в детстве не были вундеркиндами; их гений созревал постепенно и проявлялся на более поздних этапах жизни. Но математические способности Гаусса были очевидны уже в юном возрасте. Он родился в 1777 году в немецком герцогстве Брауншвейг. В три года Гаусс поразил своего отца Герхарда, указав ошибку в арифметических вычислениях в бухгалтерских книгах. Позже Гаусс по субботам сиживал на высоком стуле и помогал отцу.

В молодости Гаусс любил рассказывать, как в семилетнем возрасте он шокировал тупого и заносчивого школьного учителя. Учитель дал классу задание: вычислить сумму арифметической прогрессии (пусть это будет190 1 + 2 + 3 +. + 100). Гаусс почти сразу написал на своей грифельной доске число 5050, положил ее на стол скептически настроенного учителя и заявил «ligget se» (вот она). Вместо того чтобы выполнять утомительное суммирование, Гаусс заметил, что если сложить первое число с последним, второе с предпоследним и т. д., то каждая сумма будет равна 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…). Поскольку таких пар пятьдесят, то сумма должна быть равна 50 101 = 5050.

Рис. 21.4. Карл Фридрих Гаусс

Этот случай в классе положил начало цепочке событий, которая в 1791 году привлекла к Гауссу внимание герцога брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда. Герцог был очарован четырнадцатилетним юношей и пообещал оплатить его обучение. Щедрый герцог заплатил за обучение Гаусса в колледже Каролинум и в Гёттингенском университете, а затем продолжал выплачивать ему жалованье до самой своей смерти от рук наполеоновской армии в 1807 году.

Предчувствие не обмануло герцога. Свой первый важный результат, доказательство закона взаимности квадратичных вычетов, он получил, когда ему было девятнадцать лет. Эта теорема, которую он называл theorema aureum (золотая теорема), ускользнула от внимания и Эйлера, и Лагранжа.

В качестве своей личной печати Гаусс выбрал дерево с несколькими плодами и словами pauca sed matura (немного,