Новый Мир ( № 5 2006) - Новый Мир Новый Мир

То, что было внутренне непротиворечивым и согласованным, что было строго выведено из безусловных оснований (аксиом, постулатов, основных или неопределимых понятий, которые в свою очередь возводились к априорному умозрению), получало статус независимой истины, независимой в первую очередь от эмпирического опыта, от реального положения в пространстве и времени. Достоевский напрасно упрекал именно «русских мальчиков» в том, что у них гипотезы превращаются в аксиомы. Это, к сожалению, верно по отношению к любому непрофессиональному взгляду на теорию. Человек (или человечество) чаще всего либо целиком ее принимает и кладет кирпичиком в свою картину мироздания, либо целиком ее отвергает.

Дилетанты в первой половине XIX века почитали математику самой внутренне обоснованной дисциплиной и повторяли торжественные слова Канта о том, что во всякой науке ровно столько науки, сколько в ней математики. В то же время математики полностью отдавали себе отчет в том, например, что они очень нечетко представляют себе, почему возможны те или иные манипуляции с бесконечными множествами, в первую очередь с бесконечными суммами (рядами). (Например, с таким знакомым со школьной скамьи объектом, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, — даже здесь было много сомнительных допущений, хотя формулой суммы этой прогрессии уже вовсю пользовались несколько столетий.) Но успехи математики — в первую очередь ее приложений в астрономии и механике — были столь впечатляющи, что не доверять ей было очень трудно. И когда математические исследования из каких-то, казалось бы, внутренних потребностей привели к переформулированию геометрии Евклида, это вызвало, с одной стороны, удивление и сопротивление, а с другой — почти благоговение: математика перестала считаться с реальностью вообще. Она более всего занята собой — она автономна, а следовательно, независима от конечного реального мира. Математика демонстрировала мощь и независимость языка — языка, способного, развиваясь только по законам внутреннего построения высказывания, выводить истины реального мира — то есть выяснять, что же в этом реальном мире соответствует высоким и чистым законам истинного бытия. И потому у Достоевского, хорошо знакомого с языком математики, не могло не возникнуть подозрения, что этот язык способен доказать (или по крайней мере строго и согласованно поставить формальную задачу), чтбо есть Истина. И Достоевский не мог исключить возможность, что это доказательство обойдется без Христа. Достоевский пишет в письме к Фонвизиной: «…если б кто мне доказал, что Христос вне истины, и действительно было бы, что истина вне Христа, то мне лучше хотелось бы оставаться со Христом, нежели с истиной»6 . Достоевский хочет остаться с Христом, но сделать это ему будет очень трудно, если он столкнется с математическим доказательством, которое строго обоснует, что Истина в Христе не нуждается. Это будет трудный выбор, причем не абсолютно однозначный: «мне лучше хотелось бы остаться со Христом» — это всего лишь условное, гипотетическое утверждение. А Достоевский допускает существование такого доказательства: с его точки зрения, оно вполне может быть найдено. Достоевский пишет: «Социалисты хотят переродить человека, осво­бодить его, представить его без Бога и без семейства. Они заключают, что, изменив насильно экономический быт его, цели достигнут. Но человек изменится не от внешних причин, а не иначе как от перемены нравственной. Раньше не оставит Бога, как уверившись математически…»7

Математика для Достоевского обладает свойством внутренней полной убедительности. Математическое доказательство не есть «внешняя причина», поскольку она способна продемонстрировать («вывести» — буквально «вывести из темноты») структуру бытия. Это очень сильное допущение. Сделав его, Достоевский не мог не попробовать самостоятельно провести это математическое доказательство — доказать (или опровергнуть) то, что истина вне Христа. Конечно, писатель не обладал тем математическим аппаратом, который использовали современные ему математики в своих исследованиях перед­него края науки. Но Достоевский очень чутко ощущал проблематику, к которой подходила математическая мысль. В первую очередь это — исследование оснований математики: геометрии пространства и теории актуально-бесконечных множеств, выяснение того, насколько математическая наука на самом деле строгая дисциплина.

2. Евклидов ум

Достоевский самостоятельно предпринимает доказательство того, что Истина может обойтись без Христа, причем доказательство математически строгое (насколько это возможно без использования специальной символики и терминологии), в основном в трех главах романа «Братья Карамазовы» — «Братья знакомятся», «Бунт» и «Великий инквизитор».

«…если Бог есть и если Он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал Он ее по эвклидовой геометрии, а ум человече­ский с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная или, еще обширнее — всё бытие было создано лишь по эвклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые, по Эвклиду, ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где ж мне про Бога понять.

Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей разрешать такие вопросы, у меня ум эвклидовский, земной, а потому где нам решать о том, что не от мира сего. Да и тебе советую об этом никогда не думать, друг Алеша, а пуще всего насчет Бога: есть ли Он или нет? Всё это вопросы совершенно несвойственные уму, созданному с понятием лишь о трех измерениях. Итак, принимаю Бога, и не только с охотой, но, мало того, принимаю и премудрость Его, и цель Его, нам совершенно уж неизвестные, верую в порядок, в смысл жизни, верую в вечную гармонию, в которой мы будто бы все сольемся, верую в Слово, к которому стремится вселенная и которое Само „бе к Богу” и которое есть само Бог, ну и прочее и прочее, и так далее в бесконечность. Слов-то много на этот счет наделано. Кажется, уж я на хорошей дороге — а? Ну так представь же себе, что в окончательном результате я мира этого Божьего — не принимаю и хоть и знаю, что он существует, да не допускаю его вовсе. Я не Бога не принимаю, пойми ты это, я мира, Им созданного, мира-то Божьего не принимаю и не могу согласиться принять. Оговорюсь: я убежден, как младенец, что страдания заживут и сгладятся, что весь обидный комизм человеческих противоречий исчезнет, как жалкий мираж, как гнусненькое измышление малосильного и маленького, как атом, человеческого эвклидовского ума, что, наконец, в мировом финале, в момент вечной гармонии, случится и явится нечто до того драгоценное, что хватит его на все сердца, на утоление всех негодований, на искупление всех злодейств людей, всей пролитой ими их крови, хватит, чтобы не только было возможно простить, но и оправдать всё, что случилось с людьми, — пусть, пусть это всё будет и явится, но я-то этого не принимаю и не хочу принять!» (т. 9, стр. 264 — 265).

Это — главная цитата для любых размышлений о математических мотивах в «Братьях Карамазовых». Здесь формулируется определенная аксиоматика и утверждается, что объектом исследования станет только и исключительно имманентный — замкнутый в себе — мир. Фактически Бог интересует Ивана Федоровича в данном случае не больше, чем боги интересовали Эпикура — пусть живут себе на Эмпиреях и хорошо себя чувствуют, но к земным делам они касательства не имеют. Создали мир — и спасибо. Отдыхайте.

Рассуждения Ивана основываются в первую очередь на уверенности в том, что человек способен создавать аксиоматики — системы безусловных предпосылок, из которых все остальное дедуктивно следует. На самом деле существование многих и различных систем аксиом совершенно не очевидно. Во всяком случае, и Евклид, и Кант были убеждены, что аксиомы создает не человек, а Творец, а роль человека куда более скромная — эти аксиомы попробовать выяснить (априорно или эмпирически). Первым человеком, который сознательно пошел на создание новой системы геометрических аксиом (а никаких других явно выраженных аксиоматик в тот момент просто не существовало в математике), был Николай Лобачевский (1792 — 1856). Он усомнился в правоте евклидовой геометрии, которая строилась как идеальный образ реального пространства. Но пространство — только одно, его познание (по Канту) — априорно, и значит, может существовать только одна верно описывающая его геометрия. Лобачевский предпринял попытку доказать, что геометрия Евклида верна не всегда, а только для небольших мас­штабов измерений. В своей работе «О началах геометрии» (1829) Лобачев­ский оценивает отклонение суммы углов от 180 градусовв треугольнике, образованном неподвижной звездой (в одном из экспериментов это — Сириус) и двумя точками земной орбиты. (В геометрии Лобачевского в качестве той аксиомы, которая не верна для евклидова пространства, может быть принята и такая: сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов — аксиома параллельных в варианте Лобачевского из этой аксиомы немедленно следует.) В экспериментах, выполненных Лобачевским, отклонения от евклидовой суммы — 180 градусов — оказались меньше, чем погрешность измерения. Масштаб оказывается слишком малым, чтобы проверить, какую же геометрию имеет реальное пространство. Но Лобачевский ставит вопрос о глубоком различии между геометрией как логической структурой и геометрией как отражением физической реальности. Он пишет в своей работе: «Новая (неев­клидова) Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики»8 .