Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

Орбиты спутников чувствительны к форме Земли

А как надо действовать?

Если бы Земля имела пресловутую форму чемодана или, скажем, подчеркнуто грушевидной груши, то для описания движения малых тел под действием ее притяжения не было бы никаких средств, кроме таблиц, составляемых компьютерами, и визуализации этих таблиц в виде рисунков. Совершенная простота закона тяготения для «волшебных точек» дает сложные результаты, когда эти точки не распределены равномерно по сферическим слоям. Влияние же реальной формы Земли удается учитывать, делая последовательные приближения. Это означает, что отклонения от сферичности принимаются во внимание по очереди в зависимости от того, сколь масштабный эффект они вызывают: от «скособоченности» в целом к более мелким «выступам» и «впадинам». Это оказывается возможным потому, что Земля все-таки больше похожа на шар, чем на чемодан; она, более того, ближе по форме к мячу для футбола, чем к мячу для регби. Форма Земли с сильно преувеличенными отклонениями от сферичности показана на рис. 4.7.

Форма и неоднородности Земли – не фундаментальный факт природы, а случайность, особенности конкретной планеты, и для их описания надо придумать, как соединить конкретные данные с фундаментальными принципами. Отправная точка последовательных приближений – идеализированное предположение, приводящее к кеплеровой картине движения; здесь все понятно, и предмет нашего интереса – дальнейшие уточнения, но для единообразия явно сформулируем это предположение.

• Идеально круглая и однородная Земля: зависимость притяжения от расстояния 1/R2, зависимости от направления нет.

А теперь учтем самый главный эффект, отличающий Землю от идеального шара: сплюснутость у полюсов, или, что то же, выпуклость («вздутие») вблизи экватора. От центра Земли до полюса на 21 км ближе, чем от центра до экватора. Это около 0,335 % радиуса Земли, что, в общем, совсем мало для практически всего, кроме спутников. Наладить производство реалистичных глобусов, передающих такие детали формы Земли, довольно проблематично: если радиус глобуса равен метру (что не так мало для интерьера – два метра в диаметре), то полюс надо дополнительно приблизить к центру на три с небольшим миллиметра, и это едва ли многие заметят. Но в этом же масштабе высота орбиты, скажем, МКС (практически равная расстоянию между Москвой и Нижним Новгородом) – около 6 см над поверхностью глобуса. Это близко, и если «один бок» Земли притягивает несколько сильнее, чем другой, то орбита живо на это откликается; «три миллиметра» (21 км) оказываются очень существенными для низких околоземных орбит. Чтобы описать, как эти 21 км проявляют себя, мы заменяем реальную Землю специальной математической фигурой, учитывающей только реальные значения полярного и экваториального радиусов. Она (эта фигура) называется эллипсоидом вращения, но главное не название, а то, что она передает одно знание о форме Земли: разницу между полярным и экваториальным радиусами. На полюсах и на экваторе мы совмещаем эту воображаемую поверхность и реальную поверхность Земли как можно более точно, а в остальном – что получится, то получится: поверхность воображаемого эллипсоида проходит где-то чуть выше, а где-то чуть ниже реальной земной поверхности; о точном совпадении мы прямо сейчас не заботимся. Эллипсоид же прекрасен именно тем, что это строго определенная математическая фигура, для которой можно (хоть и не без некоторых усилий) выполнить требуемую процедуру суммирования притяжений от «волшебных точек». Делая это, надо вспомнить, что мы уже учли притяжение идеально круглой Земли и поэтому сейчас интересуемся только тем, что еще надо добавить к силе притяжения.

И вот главное: добавка к силе притяжения, которая математически выводится для эллипсоида, составлена из многих компонентов, которые с разной быстротой ослабевают по мере удаления от Земли. Тот вклад в притяжение, который ослабевает медленнее других, зависит от расстояния как 1/R4 (происхождение именно такой зависимости обсуждается в добавлениях к этой прогулке). Это значит, что при увеличении расстояния в два раза такая сила притяжения уменьшается в 16 раз. Это, конечно, заметно быстрее, чем убывание «по закону обратных квадратов» (в два раза дальше – в четыре раза слабее), но все же медленнее всех остальных компонентов, которые в совокупности точно описывают притяжение эллипсоида вращения. А поскольку Земля не имеет в точности форму эллипсоида вращения, увлекаться математическими подробностями про притяжение этой фигуры совершенно ни к чему, и из всего притяжения эллипсоида мы оставляем только один компонент – этот самый, который ослабевает как 1/R4. Кроме того, математика определяет для этого вклада вполне конкретную зависимость от направления. В данном случае это зависимость только от широты, и она однозначно фиксирована. Подведем итог первого шага по переводу формы Земли в силу притяжения.

• Сплюснутость у полюсов: дополнительная зависимость притяжения от расстояния 1/R4, но еще и с определенной зависимостью от широты.

Широта – это угол, отсчитываемый от экватора (математически – положительный в Северном полушарии и отрицательный в Южном). Зависимость только от широты, но не от долготы означает, что спутник испытывает одинаковое притяжение, находясь на одной и той же высоте над Кабулом и над Осакой (которые расположены почти на одной широте). Помимо того что от широты зависит сила притяжения, направленная по радиусу к центру Земли, автоматически появляется и составляющая силы, направленная вдоль меридианов, – что неудивительно, потому что экваториальное «вздутие» притягивает спутник к себе. Математике при этом неважно, как называется сплюснутое у полюсов тело, которое мы захотели примерно описать как эллипсоид вращения. Точно такую же зависимость притяжения от широты мы получили бы для сплюснутого у полюсов Юпитера. Все, что остается от конкретной планеты (кроме ее массы), – это одно число, а именно коэффициент, с которым вся наша добавка, содержащая 1/R4 и вполне определенную зависимость от широты, прибавляется к «закону обратных квадратов». Это небольшое число выводится из упомянутых выше 0,335 % (а также массы, среднего радиуса и угловой скорости вращения Земли).

Вперед – к груше! Образ груши отражает тот факт, что Северное полушарие реальной Земли слегка отличается от Южного. Действуем в том же духе: заменяем реальную форму Земли со всеми ее многочисленными подробностями специальной фигурой, более сложной, чем эллипсоид вращения, но все еще относительно простой математически, и вычисляем добавку к уже найденной силе притяжения. Здесь тоже получаем силу, составленную из многих компонентов, которые убывают по мере удаления еще быстрее, чем те, которые мы уже учли. Из всего нового оставляем только ту часть, которая уменьшается