Одна формула и весь мир - Евгений Седов

Попробуем представить себе, как протекает процесс развития сложных, многоуровневых систем. Все начинается с первозданного хаоса, когда вероятности одинаковы, а энтропия имеет максимальную величину. Среда «дрессирует» систему (эта «дрессировка» может длиться сотнями поколений), заставляя ее вырабатывать реакции и структуру с дифференцированными значениями вероятностей, что соответствует уменьшению энтропии, определяемой с помощью функции    . Пределом этой тенденции является жесткая детерминация, когда одна вероятность равна единице, а все остальные — нулю. Этому состоянию соответствует текст из одинаковых букв, слов или фраз.

Все только что сказанное можно изобразить в виде круга, на котором буквой Д обозначено состояние деградации (нулевой информации и максимальной энтропии), а буквой В состояние вырождения (когда накопленная информация свелась к повторению одного и того же).

В обиходе слова «деградация» и «вырождение» синонимичны. В нашей модели они обозначают два противоположных состояния системы на ее эволюционном пути. Деградация в данном контексте означает исчезновение различий элементов и признаков,когда все они приобретают равную вероятность. Вырождение означает переход от гибких, разнообразных текстов к текстам, состоящим из повторяющихся букв, слов или фраз. И все же в каком-то смысле термины «деградация» и «вырождение» остаются синонимами, потому что крайности сходятся: достигнув состояния вырождения, система теряет всякую приспособляемость (за счет нулевой энтропии, то есть отсутствия мутаций, позволяющих реализовать поиск с помощью проб и ошибок) и потому мгновенно переходит в состояние деградации (разрушается) при любых изменениях внешней среды. Если от Д к В ведет длительный путь эволюции (см. рис. на с. 125), то переход от В к Д представляет собой короткий скачок.

Мы уже знаем, что к состоянию В суждено приблизиться немногим системам (планетные системы, паразитические организмы, условные рефлексы и т. п.). Гораздо чаще, проделав определенный путь от состояния Д до какой-то точки изображенного на рисунке круга, достигнув

определенного соотношения стохастичности и детерминации на данном уровне организации, система разрывает этот «порочный круг» и переходит на следующий структурный уровень.

На новом витке спирали продолжается та же тенденция: накапливая информацию и увеличивая детерминацию, система продолжает свое движение от состояния Д к состоянию В. Значит, переход на более высокие уровни развития не спасает системы от вырождения? Выходит, что вырождение, сведение к стереотипу — это неизбежный удел, финишное состояние всех развивающихся систем?

Печально было бы, если бы так происходило в действительности. К счастью, многие явления окружающего мира опровергают столь скептический вывод, поражая нас бесконечным разнообразием отнюдь не стереотипных, а гармоничных, совершенных, непрерывно развивающихся форм.

Как увязать это с общей тенденцией к вырождению, вытекающей из анализа свойств функции    ?

Может быть, функция все же в чем-то несовершенна? Не поторопились ли мы, назвав ее обобщенной математической моделью всех развивающихся систем?

Оказывается, эта функция позволяет найти ответ и на такие вопросы. Чтобы понять, как тенденция к вырождению сочетается с неограниченными возможностями развития, надо принять во внимание еще один важный принцип, который можно назвать принципом увеличения разнообразия многоуровневых систем. Суть принципа заключается в том, что из ограниченного набора букв можно составить практически неограниченное число слов и фраз.

Если в каждом слове содержится к букв, то из алфавита, состоящего из N0 букв, можно получить N1 = N0kслов.

Правда, среди этих слов будут такие, в которых одна буква повторяется трехкратно, четырехкратно, к-кратно (число N1 включает в себя все возможные комбинации букв). Этим наша модель отличается от реальных текстов, в которых используются далеко не все комбинации букв. Но для нас сейчас важно выявить, как растет разнообразие признаков по мере подъема системы на новые более высокие уровни.

Если теперь из N1 слов складывать фразы по к слов в каждой фразе, то число фраз получится

В нашем движении вверх по спирали мы поднялись пока только на две ступеньки: от букв к словам, от слов к фразам. Нетрудно сообразить, что, поднявшить на п ступенек, мы получим число комбинаций, равное

Вычисление энтропии и информации осуществляется с помощью логарифмов. Например, при равной вероятности всех признаков энтропия равна

Другими словами, максимальная энтропия на п-oм уровне больше, чем максимальная энтропия на начальном (нулевом), уровне в кп раз. (На нулевом уровне Hо = logNo). Пройдя на п-м уровне весь круг от состояния Д до состояния В, то есть от максимальной до нулевой энтропии, система накопит информацию, количество которой окажется в кп раз больше, чем на уровне п = 0.

Эту закономерность можно представить в виде вписанной в перевернутый конус расширяющейся спирали, каждый виток которой имеет диаметр в к раз больший, чем лежащий под ним виток.

Здесь придется сделать еще одно отступление, чтобы понять, чем наша модель отличается от реальных систем.

Соотношение    получено нами в предположении, что величина к на всех уровнях сохраняется неизменной, то есть каждое слово содержит к букв, а каждая фраза к слов.

В реальных текстах это условие не соблюдается: фраза может содержать и одно слово (вечерело; темнело) и много десятков слов. Слово тоже может включать в себя и всего одну букву (союзы, предлоги) и десятки букв.

Иронизируя над характерным для немецкого языка слиянием многих слов в одно длинное слово, Марк Твен придумал слово ШРАТТЕРТРОТЕЛЬГОТТЕНТОТЕНМУ-ТЕРАТТЕНТЕТЕР, означающее, что в городе ШРАТТЕР-ТРОТЕЛЬ объявился убийца (АТТЕНТЕТЕР), лишивший жизни мать готтентота (ГОТТЕНТОТЕНМУТЕР).

Чтобы показать, насколько шутка Марка Твена недалека от действительности, приведем заимствованное из современной технической литературы немецкое слово KESSELSTREINVERHINDERUNGSMITTELERZEUNSGESSELSHAFT, переводимое как «мероприятия по изготовлению растворителей для накипи, образующейся в котлах».

Мы с вами пренебрегли указанными особенностями письменной речи (распространяющимися и на другие системы) и построили модель, в которой все фразы содержат одинаковое число слов, а все слова — одинаковое число букв. Сделано это лишь для того, чтобы нагляднее выявить разнообразие признаков и количество информации в зависимости от номера уровня п при всех прочих равных условиях (в том числе и при равных количествах к тех элементов, из которых складываются слова, фразы и т. д.).

Такой прием позволил нам выявить закономерность: при подъеме на n ступенек иерархической лестницы система увеличивает свою информационную емкость в кп раз. Проиллюстрируем это числами: если диаметр нижнего витка изображенной на рисунке (с. 128) вписанной в конус спирали принять равным 1 сантиметру, то соотношение длин витков в сантиметрах при к = 6 будет таким: 1:6:36:216:1296. Два нижних витка (алфавит из N0 букв и весь словарь шестибуквенных слов) без труда умещаются на этой странице. Третий виток (все фразы из шести слов) не уместится даже на развороте книги. Четвертый займет заметную часть комнаты. Пятый удастся разместить только в пределах двора.

С такой скоростью растет информационная емкость

при подъеме на пять ступенек иерархической лестницы. И в такой же пропорции уменьшается скорость приближения системы к полному вырождению в результате накопления равного количества информации на различных витках спирали. Если на первом витке система прошла весь путь от состояния Д до состояния В накопив информацию   , то при том же количестве информации, накопленной на пятом витке спирали (то есть при п = 5), система пройдет всего лишь 1/1296 часть пути.

Теперь нетрудно понять, почему, постоянно стремясь к состоянию вырождения, система может никогда не достичь его: чем выше она поднялась по ступеням иерархической лестницы, тем больше ей надо копить информации, чтобы перейти из состояния Д в состояние В.