Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение. - Хавьер Фресан

129

Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <аm> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.

Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение

φ:<a>→ <аm> × <a'>,

которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((am)ui,(ar)vi). Так как а имеет порядок n, получим, что аi = аi+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для аi и аi+kn совпадают. Для этого заметим, что

(am)u(i+kn) = (am)ui(an)ukm = (am)uieukm = (am)ui

так как аn = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(аi) = φ(аi+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим

φ(e) = φ(a0) = ((am)0, (ar)0) = (e, e) = e.

Рассмотрим второе условие:

φ(aiaj) = φ(ai+j) = ((am)u(i+j), (ar)u(i+j)) = ((am)ui(am)uj, (ar)vi(ar)vj) = ((am)ui(ar)vi, (am)ui(ar)vi) = φ(ai) φ(aj),

так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.

Для этого заметим, что <а> и <аm> х <аr> — группы одного порядка. В самом деле, элементы аm и аr имеют порядок r и m соответственно, так как

(аm)r = (аr)m == amr = an

а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <аm> х <аr> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.

130

С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(аi) = е следует аi = е. Если φ(аi) — нейтральный элемент, то аmui = аrvi = е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно аi = е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.

Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.

Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде aibi, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).

Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <а> × <b> → G, которая ставит в соответствие пару (аi, bi) элементу aibi группы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.

Следовательно, запись аibi может быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены аibi, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.

Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).

Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = рem, порядок (b) = рfn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для рe и m, а также для рf и n.

Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы <a>≃<am> × <apr> и <b>≃<bn> × <bpt>. Следовательно:

<a> × <b> ≃ <am> × <ape> × <bn> × <bpf>. (*)

131

Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, pf и n соответственно. Так как m и pf взаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение <apr> × <bn> изоморфно циклической группе порядка pfm. Так как n и pfm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <х> порядка pfmn.

Примем у = аm. Порядок этого элемента равен рe. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <а> <b> и <х> <у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <х> <у> на G. Иными словами, х и у порождают G.

Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = pfmn делится на порядок (у) = рe, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму[2]:

Лемма 2. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами.

Можно выбрать ее порождающие элементы так, что порядок одного будет делителем порядка другого.

Продолжим доказательство.

Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk. Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.

Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у3 равнялось х2, то х2у4 и х4у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что уt совпадает с xs для некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как уl = е = хlk.

132

В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде xiyj, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство xiyj = xiyj выполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы хi'-i = уj-j', или, что аналогично, уj-j' было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как хi'-i = е при —lk < i' —i < lk.

Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.

Обозначим через r порядок элемента уt. Так, е = (уt)r = уtr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.

С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.

С другой стороны, имеем равенства yl(u+1)-l = yt(u+1)(u + i )= xs(u+1), так как у имеет порядок l, и уt = xs.

Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = уt = ylr = xsr.

В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.

Лемма 3. Пусть g — элемент порядка n группы G. Тогда n будет делителем любого целого числа d такого, что gd = е.

Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.

Тогда е = gd = gpn + r = (gn)p gr = gr, так как gn = e. Таким образом, gr = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.