Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение. - Хавьер Фресан

ми

ре

до-диез

ля

до

си

ре

до-диез

фа

ля-диез

соль

соль-диез

фа-диез

ми

ре-диез

ля-диез

до-диез

до

ре-диез

ре

фа-диез

си

соль-диез

ля

соль

фа

ми

125

Как вы уже видели, эта таблица содержит ту же информацию, что и таблица

[0]

[3]

[2]

[5]

[4]

[8]

[1]

[10]

[11]

[9]

[7]

[6]

[9]

[0]

[11]

[2]

[1]

[5]

[10]

[7]

[8]

[6]

[4]

[3]

[10]

[1]

[0]

[3]

[2]

[6]

[11]

[8]

[9]

[7]

[5]

[4]

[7]

[10]

[9]

[0]

[11]

[3]

[8]

[5]

[6]

[4]

[2]

[1]

[8]

[11]

[10]

[1]

[0]

[4]

[9]

[6]

[7]

[5]

[3]

[2]

[4]

[7]

[6]

[9]

[8]

[0]

[5]

[2]

[3]

[1]

[11]

[10]

[11]

[2]

[1]

[4]

[3]

[7]

[0]

[9]

[10]

[8]

[6]

[5]

[2]

[5]

[4]

[7]

[6]

[10]

[3]

[0]

[1]

[11]

[9]

[8]

[1]

[4]

[3]

[6]

[5]

[9]

[2]

[11]

[0]

[10]

[8]

[7]

[3]

[6]

[5]

[8]

[7]

[11]

[4]

[1]

[2]

[0]

[10]

[9]

[5]

[8]

[7]

[10]

[9]

[1]

[6]

[3]

[4]

[2]

[0]

[11]

[6]

[9]

[8]

[11]

[10]

[2]

[7]

[4]

[5]

[3]

[1]

[0]

ЛЕВИ-СТРОСС: На основе додекафонической таблицы, подобной той, которую мы только что составили, можно написать такую мелодию:

С одной стороны, на нижнем нотном стане в ключе фа записана основная последовательность нот из первой строки, на основе которых мы получили все остальные ноты. С другой стороны, на верхнем нотном стане записаны две мелодии: первая, состоящая из более низких звуков, соответствует второму столбцу таблицы, вторая, состоящая из более высоких звуков,— первой строке, прочитанной справа налево.

Число возможных вариантов практически бесконечно!

ВЕЙЛЬ: Так сегодня звучит музыка сфер.

ЛЕВИ-СТРОСС: И так мы будем слушать ее до тех пор, пока алгебра не разлучит нас.

126

Приложение

Конечные абелевы группы с двумя порождающими элементами[1]

В этом приложении приведено полное доказательство теоремы о структуре конечных абелевых групп с двумя порождающими элементами, которую упоминает Андре Вейль в диалоге с Клодом Леви-Строссом на стр. 73.

Теорема. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, изоморфна либо циклической группе, либо прямому произведению двух циклических групп.

Прежде чем перейти к доказательству, напомним, что такое изоморфизм групп, о котором мы вкратце упоминали на стр. 57.

Пусть G и Н — две группы. Обозначим их групповые операции * и · соответственно. Обозначим нейтральные элементы групп через еG и еH.

Определение. Гомоморфизм групп G и Н — это функция φ: G → Н, которая каждому элементу g группы С ставит в соответствие элемент φ(g) группы Н (отображение g) так, что при этом...

Если мы найдем отображение результата операции над двумя элементами С, а затем сначала применим φ к каждому элементу, после чего найдем результат операции на Н, то результат в обоих случаях будет одинаков: φ(а * * b) = φ(а) · φ(b).

Приведем два следствия из этого определения. Отображением нейтрального элемента G, заданным функцией ф, должен быть нейтральный элемент Н: ф(еG) = еH.

127

Так как еG * еG = еG, имеем φ(еG) = ф(еG) · ф(еG). Применив закон сокращения (см. стр. 58), мы можем сделать вывод: ф(еG) = еH. Также заметим, что гомоморфизм «сохраняет» обратные элементы: ф(g-1) = ф(g)-1 для любого g на группе G.

В самом деле, g * g-1 = еG, следовательно, ф(g*g-1) = ф(еG) = еH в соответствии с доказанным выше. С другой стороны, по определению гомоморфизма ф(g*g-1) = ф(g) · ф(g-1). Из этих двух утверждений следует: ф(g) · ф(g-1) = еH — это равенство по-прежнему будет верным, если мы поменяем местами ф(g) и ф(g-1). Следовательно, ф(g) — обратный элемент ф(g-1).

Гомоморфизмы играют важнейшую роль при сравнении двух различных групп между собой. Особо выделим один частный случай, в котором две группы по своей структуре неразличимы, как, например, симметрическая группа S3 и группа преобразований, оставляющих неизменным равносторонний треугольник (стр. 56). Чтобы выразить эквивалентность структур формально, было введено понятие изоморфизма.

Определение. Гомоморфизм ф: G → Н называют изоморфизмом групп, если выполняются следующие условия.

(1) Инъективность. Если а и b — два различных элемента G, то φ(а) и φ(b) — два различных элемента Н.

(2) Сюръективность. Каждый элемент Н является отображением некоторого элемента G, то есть для любого h группы Н существует такой элемент g группы G, что р(g) = h.

В силу свойств гомоморфизма нетрудно видеть, что инъективность эквивалентна другому условию, которое проще проверить на практике.

(1') Единственный элемент G, который отображение φ преобразует в нейтральный элемент Н, это нейтральный элемент G. Иными словами, если φ(g) = eH, то g = eG.

В самом деле, предположим, что выполняется условие (1) и что φ(g) = eH. Так как р — гомоморфизм, мы знаем, что ф(eG) = еH, следовательно g обязательно должен совпадать с eG — в противном случае два различных элемента будут иметь одинаковые отображения. Посмотрим, что произойдет, когда выполняется свойство

128

(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b)-1 = еH. Так как φ — гомоморфизм, ф(b)-1 совпадает с φ(b-1) и φ(а) · φ(-1) = φ(а * b-1). Следовательно, φ(а * b-1) = eH и из (1') следует, что а * b-1= eG. Умножив обе части на b, получим, что а = b.

В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).

Также упомянем следующее предложение.

Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.

Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.

Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).

Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.

Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.