Живой учебник геометрии - Яков Перельман

На подобии фигур основано также устройство и употребление прибора, называемого п а н т о г р а ф о м и служащего для перерисовывания фигур в измененном масштабе. Он состоит (черт. 204) из четырех планок АВ, BC, CD и AD, соединенных в форме параллелограмма так, что планки могут свободно вращаться в углах; поперечная планка ЕF располагается параллельно AD и может быть перемещаема по желанию. При употреблении прибора его укрепляют неподвижно в А и обводят перерисовываемый контур штифтом K; тогда карандаш С вычерчивает тот же контур в увеличенном виде; все размеры получаются в столько раз крупнее, во сколько раз АС больше АК (или АВ больше АЕ). Если, например, штифт А (черт. 204) переместился в N, т. е. прошел черту KN, то карандаш С переместился в М, т. е. начертил линию СМ; из подобия треугольников АСМ и AKN (почему они подобны?) имеем, что СМ : KN– АС : АК, или АВ : АЕ. Отсюда следует, что желая увеличить рисунок, например, в 5 раз, мы должны поместить планку EF так, чтобы АВ было в 5 раз больше АЕ.

Нетрудно догадаться, как следует пользоваться пантографом для перерисовывания фигур и в у м е н ь ш е н н о м масштабе.

§ 69. Площади подобных треугольников

Предварительное упражнение

В треугольниках АВС и DEF уг. A= уг. D: ВМ и EN – высоты. Укажите все подобные треугольники в этих фигурах.

Между площадями подобных треугольников существует определенное соотношение, которое мы сейчас установим.

Пусть у нас имеются два подобных треугольника I и II (черт. 205). Проведем высоты ВМ = h и EN= l к сходственным сторонам АС = b и DF= e. Площадь треугольника I равна bh, треугольника II – el. Отношение их равно

Значит,

п л о щ а д и п о д о б н ы х т р е у г о л ь н и к о в о т н о с я т с я к а к к в а д р а т ы с х о д с т в е н н ы х с т о р о н.

§ 70. Площади всяких подобных фигур

То, что мы установили в предыдущем параграфе для подобных треугольников, справедливо, как сейчас увидим; и для всяких подобных многоугольников: их площади относятся, как квадраты сходственных сторон. Вообще,

п л о щ а д и в с я к и х п о д о б н ы х ф и г у р о т н о с я т с я м е ж д у с о б о ю к а к к в а д р а т ы и х л и н е й н ы х р а з м е р о в. Это вытекает из следующих соображений. Пусть у нас имеются две подобные фигуры, при чем линейные размеры первой фигуры в 10 раз меньше размеров второй фигуры. Покроем меньшую фигуру палеткой, разграфленной на миллиметровые квадратики, а большую фигуру – палеткой, разграфленной на сантиметровые квадратики. Так как все линейные размеры первой фигуры содержат столько миллиметров, сколько размеры второй фигуры содержат сантиметров, то первая фигура будет заключать столько же миллиметровых квадратиков, сколько вторая – сантиметровых. Число квадратиков в обеих фигурах одинаково, но каждый квадратик первой фигуры меньше квадратика второй фигуры. Значит, площадь первой фигуры меньше площади второй во столько раз, во сколько один миллиметровый квадратик меньше сантиметрового, т. е. в 10 ? 10 = 100 раз.

Если линейные размеры подобных фигур относятся не как 1: 10, а например, как 1: 7, то сходным рассуждением можно установить, что площадь первой фигуры меньше второй в 49 раз; при отношении линейных размеров 8: 3 – больше в 64/9 раз и т. п.

Поэтому, если план здания исполнен в масштабе 1/20,то каждый его участок меньше площади того же участка в натуре в 20 ? 20, т. е. в 400 раз.

Повторительные вопросы к §§ 68–70

Как относятся площади подобных треугольников? – Многоугольников? – Всяких вообще плоских «фигур? – Справедливо ли это правило для кругов?

Применения

82. С дуба сорвано два листа одинаковой формы, длиною один 12 см, другой 15 см. Во сколько раз площадь второго листа больше площади первого?

Решение. Отношение площадей равно 152: 122=(15/12)2 =(5/4)2= 1,6. Второй лист больше первого по площади в 1,6 раза.

83. План участка земли, исполненный в масштабе 5 м в 1 см, имеет площадь 78 кв. см. Найти площадь земельного участка.

Р е ш е н и е. Линейные размеры обеих фигур (участка и плана) относятся как 500:1. Значит отношение площадей 500: 1 = 250 000. Отсюда площадь участка 78 250000 = = 19 000 000 кв. см = 1900 кв. метров.

XII. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника

Предварительные упражнения

1) В прямоугольном треугольнике ABCпроведена (черт. 206) высота BD. Какие углы в треугольниках АВD и АВС равны?

Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС?

2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники.

До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так:

с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы.

Если, например, один катет равен 3 м, другой 4 м, то сумма их квадратов 32+ 42, т. е. 25, есть квадрат гипотенузы, и следовательно, длина гипотенузы – 5 метров.

Покажем, как убедиться, что указанное соотношение верно для всякого прямоугольного треугольника. Обозначим катеты прямоугольного треугольника (черт. 206) через а и с, гипотенузу – буквою b, а отрезки, на которые она делится, высотою – через р и д. Так как весь наш треугольник подобен треугольникам I и II (по каким признакам?), то

a/b = g/a и c/b = p/c

Следовательно:

a2= bq

c2= bp

Отсюда имеем:

a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2

Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.

Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).

Применения

84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?

Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:

52+ 122= 132= 169.

Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.

85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:

Р е ш е н и е.

86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?

Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,

Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.

87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.

Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна

Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.

88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?

89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).

Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.