Истина в пределе. Анализ бесконечно малых - Антонио Дуран

Таким образом, неизвестным автором решения был не кто иной, как Ньютон, который в то время занимал должность смотрителя Монетного двора и не отошел от научной деятельности. Ньютон получил письмо с задаче о брахистохроне 29 января 1697 года. По рассказам его племянницы, письмо попало в руки Ньютона в четыре часа дня, когда тот усталый вернулся из Монетного двора — в то время полным ходом шла чеканка монет нового образца.

Спустя 12 часов, то есть в четыре часа утра, решение было готово. Племянница Ньютона не знала, что он вполне мог отыскать решение в глубине своей памяти и вспомнить, что искомой кривой является циклоида. Как пишет Уайтсайд, Ньютон должен был заметить, что задача схожа с задачей о поиске тела вращения, обладающего наименьшим сопротивлением течению однородного потока. Эту задачу он решил более десяти лет назад, когда работал над «Началами».

Но история на этом не заканчивается. Когда Лейбниц представлял полученные решения задачи о брахистохроне, он упомянул, что заранее знал, кому удастся найти решение: «Разумеется, не будет недостойным указать, что задачу удалось решить только тем, на кого я указал наперед. В действительности это те, кто достаточно глубоко проник в тайны нашего дифференциального исчисления. Так, наряду с братом автора [задачи] и маркизом Лопиталем из Франции я упомянул… господина Ньютона». Лейбниц не включил в список Фатио де Дюилье, и, кроме того, из его фразы можно было сделать вывод, что Ньютон является его учеником.

Фатио атакует, Лейбниц контратакует

Фатио не смог стерпеть подобной ремарки. Он подготовил ответ и опубликовал его в Лондоне в 1699 году. В нем говорится: «Достопочтенный господин Лейбниц, быть может, задастся вопросом, от кого он узнал об использованном им исчислении. Во всех отношениях его общие принципы и большинство его правил открыл я сам, начиная с апреля 1687 года и в течение последующих лет. В то время я думал, что никто, кроме меня, не использовал это исчисление. Господин Лейбниц не был бы менее неизвестен мне, если бы его вообще не существовало. Он может похвастаться многими учениками, но я не вхожу в их число. Это станет известно, если будут опубликованы письма, которыми я обменивался с достопочтенным господином Гюйгенсом. Однако факты таковы, что первым это исчисление открыл Ньютон много лет назад. Лейбниц, второй, кто открыл исчисление, мог заимствовать что-либо у Ньютона, но это я оставляю на суд тех, кто видел письма господина Ньютона и его рукописи. Ни скромнейшее молчание Ньютона, ни неизменное тщеславие Лейбница, который при каждом удобном случае приписывает себе авторство этого исчисления, не обманут никого, кто изучит доступные материалы подобно тому, как это сделал я».

Возможно, дело еще более омрачила дружба Фатио и Ньютона. Лейбниц мог посчитать, что Ньютон убедил Фатио обвинить его в плагиате, хотя Фатио вполне мог действовать самостоятельно, желая понравиться Ньютону.

Несмотря на прямое обвинение в плагиате, скандал не спешил разгораться. Лейбниц опубликовал ответ в журнале Acta eruditorum и отметил, что обвинения Фатио могли быть продиктованы кем-то другим: «Прошу простить меня, если не отвечу на все ваши утверждения, пока вы не докажете, что не действуете по чьему-либо указанию, и в особенности по указанию Ньютона, с которым я никогда не враждовал». Лейбниц настаивал на том, что методы анализа были открыты им независимо: «Что же до меня, то я при каждом удобном случае заявлял о его [Ньютона] значительных заслугах, и это известно ему, как никому другому. Он также объявил об этом публично, когда в 1687 году в своих «Началах» опубликовал некоторые свои геометрические открытия, которые совершили мы оба. При этом никто из нас не приписывал себе заслуг другого, но объяснял открытия лишь результатом собственных измышлений, которые я изложил десять лет назад».

Решение Ньютона включить в «Оптику» (этот труд был опубликован в 1704 году) два приложения, в особенности то из них, что было посвящено задаче о квадратуре, несомненно, было продиктовано желанием прояснить ситуацию, создавшуюся после обвинений, выдвинутых Фатио. Причиной также были неоспоримые успехи Лейбница в области анализа: благодаря ему и его ученикам, Якобу и Иоганну Бернулли, а также маркизу Лопиталю, математический анализ в последнее десятилетие XVII века превратился в мощное средство, доступное любому желающему изучить его. Как писал Альфред Руперт Холл, автор самого полного исследования, посвященного полемике Ньютона и Лейбница, «наиболее существенные разногласия между ними были связаны с оценкой математического анализа: был ли он всего лишь логичным продолжением уже известных методов анализа или чем-то особенным, радикально отличавшимся от всего, что было известно до этого. Ньютон не считал математический анализ чем-то особенным, хотя, разумеется, осознавал значимость своих открытий. Можно с уверенностью сказать, что не последнюю роль в этом сыграли успех Лейбница и его последующая слава. Лейбниц считал математический анализ гигантским шагом вперед, сравнивая его с появлением алгебры; с созданием анализа математика изменилась бесповоротно».

В предисловии к «Оптике» Ньютон объясняет, почему он добавил к своей работе примечания, которые не вошли во второе издание, опубликованное в 1717 году: «В письме, написанном господину Лейбницу… я упомянул о методе, благодаря которому нашел некоторые общие теоремы, связанные с квадратурой криволинейных фигур. <…> Так как несколько лет назад я предоставил ему рукопись, содержащую эти теоремы, а затем обнаружил, что часть ее содержимого была скопирована, я, пользуясь случаем, публикую свою рукопись». Прямое обвинение в плагиате, выдвинутое Ньютоном, было направлено не Лейбницу, а шотландскому врачу Джорджу Чейни, который в 1703 году опубликовал книгу, где перечислил и систематизировал различные результаты, связанные с вычислением квадратур, авторами которых были Ньютон, Лейбниц, Джеймс Грегори, Иоганн Бернулли и Джон Крэг, Лейбниц подготовил краткое изложение «Рассуждения о квадратуре кривых» для Acta eruditorum и опубликовал его без указания имени автора в январе 1705 года. Хотя он впоследствии отрицал авторство этой статьи, один из биографов Лейбница Эдуард Гурауэр в середине XIX века обнаружил рукопись этой статьи с подписью Лейбница. Фраза, ставшая причиной полемики, звучит так: «Когда некая величина изменяется непрерывно, как, например, изменяется линия при движении описывающей ее точки, эти мгновенные изменения называются дифференциалами. <…> И, как следствие, появилось дифференциальное исчисление и обратное ему сумматорное исчисление. Элементы этого исчисления были опубликованы его изобретателем, господином Готфридом Вильгельмом Лейбницем. <…> Вместо дифференциалов Лейбница господин Ньютон применил и всегда применял флюксии. <…> Он элегантно использовал эти флюксии в своих «Математических началах», равно как и Оноре Фабри в своем Sinopsis geometrica заменил последовательное движение по методу Кавальери».

Как бы то ни было, эти строки написаны не с целью задеть кого-либо. Тезис «вместо дифференциалов Лейбница господин Ньютон применил и всегда применял флюксии» не предполагает, что дифференциал был открыт раньше, чем флюксия. Тем не менее Лейбниц использует латинское изречение, допускающее двойное толкование: adhibet, semperque adhibuit можно перевести как «применил и всегда применял» или «заменил и всегда заменял». Во втором случае фраза приобретает совершенно другую окраску, которая только усилится, если принять во внимание упоминания о Фабри и Кавальери: Ньютон в этом случае играет роль Фабри, Лейбниц — роль Кавальери. Фабри интерпретировал неделимые Кавальери в терминах флюксий. Не хотел ли Лейбниц сказать, что Ньютон интерпретировал дифференциал, введенный Лейбницем, в терминах флюксий?

Возможно, что Лейбниц не осознавал, что его фраза допускает двойное прочтение. По мнению Холла, наиболее вероятно, что он допустил «оговорку по Фрейду». Лейбниц позднее говорил, что это прочтение его слов было вызвано исключительно желанием развязать ссору. Он прояснил, что кто бы ни был автором этого документа, он использовал выражение adhibuit применительно к Ньютону, а применительно к Фабри использовал substituit. Следовательно, в случае Ньютона слово adhibuit следует понимать как «применять», и эти глаголы по отношению к Ньютону и Фабри употреблялись в совершенно разном смысле. Таким образом, не могло идти речи о каком-либо их сравнении. Как видим, стороны подробно рассматривали каждое слово, словно речь шла о городской войне дом на дом или улица на улицу.

Статья Лейбница сначала осталась без ответа. Возможно, Ньютон и его сторонники не сразу распознали двойное толкование фразы или, что более вероятно, они попросту не читали статью.

Когда Ньютон в своей «Оптике» указал, что некоторые из его результатов были «скопированы», он имел в виду книгу Джорджа Чейни. Однако эта ремарка несколько несправедлива, поскольку Чейни не только скопировал результаты Ньютона, но и высказал похвалу в его адрес и совершенно искренне отметил: «Заявляю, что все, что было опубликовано другими приблизительно за последние 24 года касаемо этих и других схожих методов, является лишь повторением или следствием того, что господин Ньютон сообщил своим друзьям или опубликовал». На эти слова Лейбниц строго возразил: «Вы неумело пытаетесь приписать Ньютону авторство метода рядов с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем сравнения членов ряда. Однако я опубликовал этот метод [в 1693 году], когда ни я, ни кто-либо другой, по меньшей мере публично, не заявлял о том, что господин Ньютон создал этот метод». И еще: «Возможно, господин Ньютон совершил некоторые открытия раньше, чем я, равно как и я совершил некоторые открытия раньше него. Разумеется, я не встретил никаких указаний на то, что ему было известно дифференциальное исчисление или нечто подобное раньше, чем мне».