Н. И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность - Е. Литвинова

Пространство Лобачевского, как отличающееся существенно от нашего, нельзя себе представить, оно только мыслимо. То же относится и к пространствам четырех и многих измерений.

К исследованиям Риманна тесно примыкают труды Гельмгольца, который справедливо говорит: «В то время, как Риманн вступил в эту новую область знания, отправляясь от самых общих и основных вопросов, я сам пришел к подобным же выводам».

Риманн исходил в своих исследованиях от алгебраического общего выражения расстояния между двумя бесконечно близкими точками и отсюда вывел различные свойства пространств; Гельмгольц же, исходя от факта возможности движения фигур и тел в нашем пространстве, вывел в конце концов формулу Риманна. Обладая умом в высшей степени ясным, Гельмгольц как бы осветил нам всю глубину мыслей Риманна.

В данном же случае для нас особенно важно, что, выясняя нам происхождение геометрических аксиом, он косвенно определил, в каком отношении находится геометрия Лобачевского к нашей.

По мнению Гельмгольца, главным затруднением в чисто геометрических исследованиях служит легкость, с которой мы здесь смешиваем ежедневный опыт с логическими процессами мысли. Гельмгольц доказывает, что в геометрии Евклида многое опирается на опыт и не может быть выведено логическим путем. Замечательно, что задачи построений играют в геометрии такую существенную роль. С первого взгляда они кажутся не более как практическими действиями, на самом же деле они имеют силу положений. Чтобы сделать очевидным равенство геометрических фигур, обыкновенно их накладывают мысленно одну на другую. В возможности такого положения мы с раннего возраста убеждаемся фактически. Гельмгольц доказывает также, что особенные характеристические черты нашего пространства суть опытного происхождения.

На основании физиологических данных, относящихся к устройству наших органов чувств, Гельмгольц приходит к очень важному для нас убеждению, что все наши способности к чувственным восприятиям распространяются на Евклидово пространство трех измерений, всякое же пространство, хотя и трех измерений, но имеющее кривизну, или пространство с числом измерений более трех, мы в силу самой своей организации не в состоянии себе представить.

Итак, учение Гельмгольца, которого справедливо считают гением нашего столетия, подтверждает, со своей стороны, результаты, добытые математиками Риманном и Лобачевским. Но если мы не в состоянии никакими естественными и искусственными средствами получить это представление, то все же геометрия двух измерений, отличная от нашей, доступна нашему представлению. Гельмгольц дает нам средства вникнуть в суть геометрии псевдосферической и сферической, прибегая к чрезвычайно остроумным приемам, останавливаться на которых мы, конечно, не будем. В данном случае для нас самое главное – это наглядная параллель между происхождением опытных и логических истин.

Пользуясь выводами Гельмгольца, легко уяснить, как надобно понимать пространство более трех измерений. Гельмгольц задавался вопросом, какова была бы геометрия у существ, которые знали бы по опыту только два измерения, то есть жили бы в плоскости, вполне с ней совмещаясь. Будучи плоскими, такие существа знали бы всю планиметрию в том именно виде, в каком мы – существа трех измерений – знаем ее теперь; но те же самые гипотетические существа не имели бы ни малейшего представления о третьем измерении, и вся наша стереометрия не могла бы иметь для них ничего конкретного. Тем не менее эти плоские существа, лишенные возможности действительно построить стереометрию, могли бы, пользуясь анализом, изучить ее аналитически. В совершенно таком же положении находимся мы, существа трех измерений, по отношению к пространству четырех измерений и вообще отличному от нашего: мы не можем создать синтетическую геометрию этого пространства, но ничто не препятствует нам изучить его свойства аналитически. Лобачевский первый дал опыт изучения такого пространства, которое лежит вне нашего опыта. Для людей, не владеющих математическим анализом, не существует ни пространство Лобачевского, ни геометрия многих измерений, как не существуют видимые только в телескоп небесные светила для людей, смотрящих на небо невооруженным глазом.

После того, что мы здесь сказали, нетрудно решить вопрос, был ли Лобачевский мечтателем в науке? Дальнейшие научные исследования доказали реальность его геометрии двух измерений и показали вообще возможность аналитического изучения пространств, отличающихся от нашего евклидовского. И, можно сказать, самые сильные умы нашего времени работают в духе Лобачевского, и то, что считали мечтою современники Лобачевского, в настоящее время признается глубоким, истинно научным исследованием.

Эта работа, как говорит профессор Васильев, ведется теперь и в отчизне Лобачевского, и во всех культурных странах Европы: в Англии, Франции, Германии, Италии, в едва пробуждающейся от умственного сна Испании, среди девственных лесов Техаса.

В задачу нашу не входит изложение учения спиритов о пространстве четырех измерений; мы заметим только то, что оно стремится убедить в реальном существовании пространства четырех измерений, и потому диаметрально противоположно взглядам истинных математиков и философов, доказывающих, напротив, полную невозможность этого для нас, смертных.

Отрадно видеть, что разработка идей Лобачевского все разрастается, и не только в области одной математики; в решении заключающихся в них вопросов должны принять участие и физиология органов чувств, и та область философии, которую теперь принято называть теорией познавания. В доказательство того, как далеко распространяется влияние идей Лобачевского, приведем слова г-на Михайлова, который говорит в своей поздравительной телеграмме Казанскому университету: «Я счастлив, что еще в 1888—1889 годах мог совместить философские принципы великого русского геометра Лобачевского и учение о симметрии великого француза Луи Пастера в моих лекциях по физиологии, читанных в Санкт-Петербургском университете».

От главных научных заслуг Лобачевского перейдем к второстепенным. Он не был исключительно геометром, как, например, немецкий математик Штейнер. Современные русские математики находят большой интерес и в его работах по алгебре и анализу. Одна из таких работ служит дополнением одной мысли Гаусса.

Лобачевский, как и Риманн, был не только математиком, но и философом, и значение его работ для теории познания почти так же велико, как и для математики. Замечательно, что не только в математике, но и в философии того времени был возбужден вопрос о сущности и происхождении геометрических аксиом.