Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии. - Рафаэль Лаос-Бельтра

Палитра цветов программы Fractint

* * *

Этими свойствами обладают все фракталы, созданные математиками. Иными словами, фракталы, сгенерированные на компьютере, — это идеальные математические объекты, в отличие от неидеальных фракталов конечного размера, созданных природой. И все же красота и сложность фракталов в природе не перестают удивлять нас.

Снежинка (иллюстрация Уилсона Бентли) и соответствующий ей фрактал — снежинка Коха.

Множества Жюлиа и Мандельброта

Французский математик Гастон Жюлиа первым начал исследовать фракталы. Он сделал ряд важных открытий, однако умер в 1978 году, так и не став известным. Отчасти это объяснялось тем, что компьютеры в то время еще не могли изобразить всю красоту и кажущуюся сложность фракталов. Жизнь Жюлиа вообще сложилась непросто: в Первую мировую войну он был ранен в лицо и вынужден был всю жизнь скрывать его часть.

Фрактальное множество Жюлиа.

Рассмотрим функцию вида Zn+1 = Zn2 + С, где Z — переменная, С — константа. Значение левой части этого выражения на итерации n + 1 равно квадрату переменной Z на предыдущей итерации, n, увеличенному на константу С. Само по себе это выражение не представляет особого интереса, если только переменная Z и константа С не являются комплексными числами. Именно этот случай и рассмотрел Жюлиа. Несколько лет спустя Бенуа Мандельброт также изучил этот класс итеративных выражений с помощью компьютера. В некотором роде Мандельброт продолжил исследование фракталов, начатое Гастоном Жюлиа, и внес огромный вклад в их популяризацию. В 1958 году Мандельброт начал работать в исследовательском центре IBM в США, где изучал возможности использования фракталов не только в физике, но и в других дисциплинах: гидродинамике или даже экономике. Именно он в 1975 году ввел термин «фрактал» для обозначения подобных объектов. Изучив множества Жюлиа с помощью компьютера, Мандельброт обнаружил множества, которые теперь носят его имя — множества Мандельброта.

Фрактал Мандельброта.

В 1982 году была опубликована книга Мандельброта под названием «Фрактальная геометрия природы», в которой он объяснил, как природа создает фрактальные формы (к примеру, линии побережий, горы, растения, кровеносные сосуды и легкие). На множествах Мандельброта рассматривается орбита точки 0. Ученый предложил изучить последовательные итерации выражения Zn+1 = Zn2 + С для частного случая Z0 = 0. Его идея заключалась в том, чтобы определить, каким в этих условиях будет множество значений С, для которых рассматриваемая орбита точки не будет уходить в бесконечность. Именно это множество значений и стало называться множеством Мандельброта. На множествах Жюлиа, напротив, комплексная константа С имеет фиксированное значение, для которого изучается поведение функции, орбита и значения Z0, Z1, Z2… и т. д. Поскольку компьютер не может работать с комплексными числами, переменная и константа записываются в следующем виде:

Z = X + iY

С = р + iq,

а функция Zn+1 = Zn2 + С раскладывается на вещественную часть X и мнимую часть Y.

Компьютер позволяет представить точки орбиты на комплексной плоскости, то есть в декартовой системе координат, и изобразить точки, для которых выражение √(x2 + Y2) меньше заданного значения и орбита которых не уходит в бесконечность. Эта орбита является границей множества точек, орбиты которых уходят в бесконечность, и это множество называется множеством Жюлиа.

Хаотические системы представляют собой разновидность динамических систем, что доказал преподаватель Технологического института Джорджии Майкл Барнсли, объяснявший теорию хаоса на примере математической игры под названием «Игра в хаос». Барнсли показал любопытную особенность хаотических систем: их беспорядочность была лишь кажущейся, и в конечном итоге в хаотической системе можно было увидеть одну и ту же фигуру. Эта фигура, очевидно, являлась аттрактором, в частности фракталом, однако проявлялась она только на поздних этапах моделирования. Напомним, что аттрактор — это не более чем точка или множество точек, к которым стремится или приближается динамическая система. «Игра в хаос» заключается в графическом представлении точек (х, у), которые описываются следующим матричным выражением:

Изначально расположение полученных точек будет казаться случайным. Но ближе к концу эксперимента, после того как мы изобразим достаточное их количество, всегда будет виден странный аттрактор — треугольник Серпинского.

Идея Барнсли была простой, элегантной и в то же время удивительной. Любая точка, которую мы изобразим в будущем, то есть в момент времени t + 1, будет иметь координаты (хt + 1, yt + 1). Они будут рассчитаны на основе координат (xt, уt) точки, которую мы изобразим в момент времени t. Обратите внимание, что здесь речь идет об отображении, схожем с логистическим отображением или уравнением Ферхюльста. О том, что такое матрицы и как они применяются в математической биологии, поговорим в следующей главе. Пока лишь укажем, что приведенное выше выражение можно преобразовать в два более привычных и определить координаты новой точки на основе следующих преобразований:

хt+1 = aхt + byt + е,

yt+1 = cxt + dyt + f.

Эксперимент Барнсли заключался в определении трех преобразований.

Для произвольной начальной точки с координатами (х, у) путем жеребьевки определялось число 1, 2 или 3. К примеру, если при броске кубика выпадало 1 или 2 очка, выбиралось преобразование 1, если выпадало 3 или 4 очка — преобразование 2, если выпадало 5 или 6 очков — преобразование 3. С помощью соответствующих уравнений определялись координаты новой точки (хt + 1, yt + 1). Далее путем жеребьевки выбиралось новое преобразование, которое применялось к предыдущей точке для определения координат новой точки, и т. д.

Обратите внимание, что в эксперименте, результатом которого является треугольник Серпинского, а и d всегда равны 0,5, b и с — 0. Значения е и f изменяются для каждого преобразования. Другие природные фракталы, например листья растений, ветки папоротника и т. д., можно получить, рассмотрев различные значения а, Ь, с, d, е и f.

Описанная процедура, названная системой итерируемых функций, представляет собой один из наиболее интересных методов построения фракталов на компьютере. Эксперимент привел к удивительному результату: многие биологические формы и структуры являются фракталами. Если, к примеру, мы применим преобразования (повороты, переносы, изменение масштаба) к точкам, представляющим клетки, то получим структуру, которая будет фракталом, изображающим, к примеру, лист растения.

Глава 4

Судоку жизни

Одна из классических научных задач — наблюдение за природой и проведение экспериментов. Наблюдение явления подразумевает сбор каких-либо данных. В качестве примера приведем изучение загрязнения окружающей среды, в котором как индикаторы используются некоторые виды лишайников, количество мутаций определенной бактерии или вес мышей из одного помета. На этом этапе исследования ученый подсчитывает, например, количество муравьев, проходящих через определенное место за минуту, или число красных кровяных телец. Вместо подсчетов в некоторых случаях могут требоваться измерения, например кислотности среды, веса, роста или любых других показателей, значение которых, по определению измерения, будет содержать несколько десятичных знаков.

Данные, собранные в ходе эксперимента, объединяются в таблицы. Допустим, что в оранжерее на четырех грядках растет по семь растений, при этом на каждую грядку вносится свое удобрение. Чтобы выяснить, дает ли оно положительный эффект, по прошествии определенного времени производится подсчет числа листьев на каждом растении. Обозначим это число через х. Подобные данные обычно представлены в виде таблиц.