Истина в пределе. Анализ бесконечно малых - Антонио Дуран

В «Началах» Ньютон приводит следующее доказательство правила нахождения производной произведения функций: «Любой прямоугольник, например АВ, увеличенный на непрерывную флюенту, если вычесть из сторон А и В половины их моментов а и b [под моментами понимаются приращения], будет равен:

или

Поскольку стороны А и В увеличиваются на другую половину моментов, прямоугольник превратится в:

или

Вычтем из этого прямоугольника предыдущий прямоугольник и получим излишек aВ + bА. Следовательно, приращение aВ + bА прямоугольника генерируется общими приращениями сторон а и b. Что и требовалось доказать». Если мы запишем приращение А как dА, а приращение В — как dB (Ньютон решительно воспротивился бы использованию подобных обозначений, так как их использовал его противник Лейбниц), то получим знакомое нам правило вычисления производной произведения: d(АВ) = AdB + BdA.

Мы уже упоминали, что Ньютон ссылался на открытую им в самый знаменательный период его жизни теорему о биноме, то есть о разложении (1 + x)m/n в степенной ряд. Однако она стала достоянием общественности лишь десять лет спустя, в 1676 году, причем в сокращенном виде. Ньютон упомянул о ней в первом из двух писем, отправленных Лейбницу через секретаря Лондонского королевского общества Генри Ольденбурга. В этом письме, озаглавленном Epistolae prior, Ньютон, отвечая на вопросы Лейбница, изложил свою теорему о биноме и другие результаты, касающиеся рядов.

Теорема о биноме легла в основу созданного им анализа бесконечно малых. По сути, именно с помощью бинома Ньютон разложил в ряд большинство элементарных функций: обратных тригонометрических (их производные можно найти с помощью бинома), а на их основе и тригонометрических функций. Аналогично он вычислил производные логарифмических и показательных функций.

Некоторые из полученных результатов уже были известны. Разложение в ряд для логарифмической функции впервые приводится в уже упоминавшейся книге Николаса Меркатора Logarithmotechnia (1668).

Высокомерный гений

Ньютон никогда не был склонен благодарить других за вклад в его открытия, однако требовал от остальных признания того, чем якобы они были обязаны ему. Ньютону нередко приписывают такую фразу: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов», которую считают выражением благодарности и признанием заслуг других ученых. Эта фраза содержится в одном из писем Ньютона к Гуку, датируемом 1676 годом. Эти письма помогли хотя бы формально уладить разногласия в споре о природе света и цветов. Цитата Ньютона восходит к Иоанну Солсберийскому, который в своем трактате «Металогик» (1159) цитирует Бернара Шартрского: «Мы подобны карликам, стоящим на плечах гигантов: мы видим больше и смотрим дальше не потому, что наше зрение острее, и не потому, что мы выше, а потому, что можем забраться высоко благодаря росту гигантов».

Эту фразу можно считать выражением благодарности Ньютона Гуку, на плечи которого, фигурально выражаясь, забрался Ньютон, чтобы видеть дальше. Однако возможна и другая, более замысловатая трактовка, которую приводит Ф. Мэнюэль и в основе которой лежит тот факт, что Роберт Гук был низкорослым и горбатым: «5 февраля 1676 года Ньютон ответил избитой фразой, часто упоминавшейся в спорах о прогрессе, которая восходит как минимум к Иоанну Солсберийскому и часто приводится вне контекста как признание заслуг предшественников Ньютона: “Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов”.

Если рассматривать эту фразу в контексте и учитывать психологическую атмосферу переписки 1676 года, то эта цитата выглядит сложной и даже неоднозначной. <…> Явно не упоминаемый образ карлика, который взобрался на плечи гиганта, выглядит не вполне прилично. Эта фраза со стороны Ньютона, обращенная к Гуку, выглядит издевательской аналогией. На первый взгляд может показаться, что Ньютон сравнивает Гука с гигантом, а себя считает карликом по сравнению с ним. Однако эта фраза относилась к низкорослому и горбатому человеку, поэтому Ньютон насмехается над ним, вольно или невольно». Вестфолл не разделяет взгляда Мэнюэля и считает, что Ньютон не допускал себе столь резких нападок на оппонентов: «Когда он нападал, то склонял голову и выдвигал обвинения прямо».

Еще одно доказательство нежелания Ньютона признавать, что он научился чему-то у других, прослеживается в его отношениях с Декартом. Именно у Декарта он научился аналитической геометрии, сыгравшей важнейшую роль в создании анализа бесконечно малых. Несмотря на это, Ньютон говорил, что испытывает глубокую неприязнь к французскому ученому. Когда Ньютон перечитывал «Геометрию» Декарта примерно в 1680 году, он заполнил поля пометками «осуждаю», «ошибка», «это не геометрия». Он даже написал черновик статьи под названием «Ошибки в «Геометрии» Декарта» (Errors in Descartes’ Geometry). Он называл аналитическую геометрию «языком мошенников от математики». В 1684 году Ньютон оставил про пуск в том месте рукописи, где должно было упоминаться имя Декарта, словно хотел забыть обо всем, чему научился у него: «Я размышлял над этими вопросами около девятнадцати лет, сравнивая между собой открытия и Худде».

Жизнь в Лондоне, служба на Монетном дворе

Ньютон сменил Кембридж на Лондон в 1696 году, став сначала смотрителем, а затем управляющим («мастером») Монетного двора. Широко известна колкая фраза Вольтера из «Философских писем»: «В юности я думал, что причиной богатства Ньютона были его огромные заслуги. Я предполагал, что он был назначен мастером Монетного двора в знак признания. Ничего подобного. У Исаака Ньютона была очаровательная племянница, мадам Кондуит. Она чрезвычайно нравилась министру финансов графу Галифаксу. Открытие анализа бесконечно малых и закона всемирного тяготения не помогли бы ему, если бы не его прекрасная племянница».

Вольтер либо преувеличил слухи, либо был не слишком осведомлен о сути дела, поскольку на момент назначения Ньютона на должность его племяннице было всего 17 лет, и, возможно, она никогда не встречалась с лордом Галифаксом. Однако позднее между ними действительно возникла тесная дружба, и после смерти Галифакса в 1714 году племянница Ньютона получила в наследство целое состояние, как написал Галифакс в завещании, «в знак искренней любви, привязанности и уважения, которое вы испытывали ко мне столь длительное время, и в качестве небольшой компенсации за удовольствие и радость, доставленные беседами с вами».

Ньютон был строгим мастером Монетного двора и вложил в работу весь свой великолепный ум, невероятную работоспособность, применив, несомненно, обширный опыт, полученный при проведении экспериментов по алхимии. Это не могло понравиться фальшивомонетчикам, которых Ньютон безжалостно преследовал.

Спустя несколько лет после того, как он поступил на службу в Монетный двор, научный мир и общество выразили ему еще большую признательность: в 1703 году Ньютон был избран президентом Королевского общества, которым он управлял подобно абсолютному монарху, а в 1705 году королева Анна произвела его в рыцари в Кембриджском Тринити-колледже.

Ньютон и его друзья

Портрет Ньютона будет неполным, если мы не упомянем о его отношениях с друзьями и близкими.

Быть может, причиной тому, что Ньютон тяжело сходился с людьми, был его непростой характер. Правда, в последние годы, прожитые в Лондоне, он пользовался славой гостеприимного хозяина — возможно, гости попадали под очарование его племянницы. Должно быть, поэтому в юности, точнее в 1660—1670-е годы, Ньютон, родившийся в 1642 году, поддерживал близкие отношения преимущественно с теми, кто был старше него. Например, Генри Мор родился в 1614 году, Джон Валлис — в 1616-м, Джон Коллинз — в 1624-м, Генри Ольденбург — в 1626-м, Исаак Барроу — в 1630-м, Кристофер Рен — в 1632-м. Среди всех друзей его ровесниками были едва ли несколько человек. Кроме того, дружеские отношения осложняло крайнее пуританство Ньютона: он прекратил общение с итальянцем Джоном Вигани, преподававшим в Кембридже химию, так как тот ввязался в неприятную историю с монахиней.

Обратите внимание: все ученые, с которыми он вел наиболее жаркие споры, принадлежали к его же поколению: Роберт Гук родился в 1635 году, Лейбниц — в 1645-м, Джон Флемстид — в 1646-м. Эти противостояния имели различный характер — так, причиной споров с Гуком и Лейбницем были вопросы первенства и обвинения в плагиате, — но все они были грубыми и жесткими. Они показывают, сколь несправедлив и властен был порой Ньютон в последние годы жизни, когда добился признания и почестей.