Ноль: биография опасной идеи - Чарльз Сейфе

Трудно сказать, почему, но мы, люди, обожаем красивые круглые числа со множеством нолей. Многие из нас помнят, как в детстве ехали в автомобиле, когда на спидометре должна была появиться отметка в 20 тысяч миль. Все в автомобиле молча следят, как цифра 19 999 медленно ползет… и вот со щелчком появляются 20 тысяч! Все дети начинают радостно вопить.

Вечером 31 декабря 1999 года щелкнул великий спидометр в небесах.

Нулевой номер

Вацлав Серпинский, великий польский математик, был обеспокоен тем, что потерял один предмет из своего багажа. «Нет, дорогой, — сказала ему жена, — все шесть предметов на месте». — «Не может быть, — возразил Серпинский, — я пересчитал их несколько раз: ноль, один, два, три, четыре, пять».

Предположение, что Дионисий Малый и Беда Достопочтенный сделали ошибку, забыв включить в свой календарь ноль, может показаться странным. В конце концов, дети считают «один, два, три», а не «ноль, один, два». За исключением майя, никто больше не имел нулевого года и не начинал месяца с нулевого дня. Это кажется неестественным. С другой стороны, когда вы считаете в обратном порядке… «Десять. Девять. Восемь. Семь. Шесть. Пять. Четыре. Три. Два. Один. Старт!».

Космический шаттл всегда дожидается ноля, прежде чем взмыть в воздух. Важные события происходят в нулевой час, а не в первый. Когда вы приближаетесь к месту, где взорвалась бомба, вы приближаетесь к нулевой отметке (groundzero).

Если вы внимательно присмотритесь, то увидите, что люди и в самом деле начинают считать с ноля. Секундомер начинает отсчет с 0:00.00 и доходит до 0:01.00 только через секунду. Спидометр автомобиля, только что изготовленного на заводе, установлен на 00000, хотя к тому моменту, когда продавец пригонит его в магазин, он покажет на несколько миль больше. У военных день официально начинается в 00:00 часов. Однако считая вслух, вы всегда начнете с «один», если только вы не математик и не программист[12]. Это имеет отношение к порядку.

Когда вы имеете дело с пересчитыванием чисел — 1, 2, 3 и т. д., их легко расположить по порядку: число 1 идет первым, 2 — вторым, 3 — третьим. Нам не нужно беспокоиться о том, чтобы не перепутать количественный смысл числа — то есть кардинал, мощность соответствующего ему множества (например, множества пяти единиц) — с его порядковым номером, ординалом, поскольку по сути это одно и то же. Так обстояли дела многие годы, и все были довольны. Но когда появился ноль, аккуратные взаимоотношения между мощностью и порядковым номером оказались разрушены. Числа расположились так: 0, 1, 2, 3; 0 оказался на первом месте, 1 — на втором, 2 — на третьем. Кардинал и ординал перестали быть взаимозаменяемыми. В этом и кроется корень проблемы с календарем.

Первый час дня начинается в 0 секунд после полуночи; второй час — в 1 час ночи, третий час — в 2 часа ночи. Хотя мы считаем порядковыми числительными (первый, второй, третий), время мы отме чаем количественными числительными (0, 1, 2). Все мы усвоили такой способ мышления, осознаем мы это или нет. Когда заканчивается двенадцатый месяц жизни младенца, мы все говорим, что ему исполнился год: он закончил первые 12 месяцев своей жизни. Если малышу исполняется год, когда он уже год прожил, не было бы логично говорить, что до этого ему 0 лет? Конечно, вместо этого мы говорим, что ребенку шесть недель или девять месяцев от роду, — умный способ обойти тот факт, что малышу 0 лет.

Дионисий не знал о ноле, поэтому начал свой календарь с года 1, как до него начинали свои календари древние. В те времена люди думали в старом стиле — эквивалентности мощности и порядкового номера. Это было прекрасно… для них. Раз ноль никогда не приходил им в голову, и проблемы не было.

Зияющая бездна

И все-таки это не было полное «ничто»: было нечто бесформенное, лишенное всякого вида… Здравый разум убеждал меня совлечь начисто всякий остаток формы, если мысленно хочу представить бесформенное, но я не мог.

Трудно винить монахов в их невежестве. Мир Дионисия Малого, Боэция и Беды был поистине темен. Рим пал, и западная цивилизация казалась всего лишь тенью былого римского величия. Будущее представлялось ужаснее, чем прошлое. Неудивительно, что в своих поисках мудрости ученые обращались за идеями не к современникам, а к древним мыслителям, таким как Аристотель и неоплатоники. Заимствуя философию и науку у древних, средневековые ученые наследовали и их предрассудки: страх перед бесконечностью и перед пустотой.

Средневековые мыслители клеймили пустоту как зло и зло как пустоту. Сатана в буквальном смысле был ничем. Боэций аргументировал это так: Бог всемогущ; нет ничего, чего Бог не мог бы совершить. Однако Бог как наивысшее благо не может творить зла. Следовательно, зло — это ничто. Для средневекового ума в этом содержался неоспоримый смысл.

Под покрывалом средневековой философии, впрочем, скрывался конфликт. Аристотелевская система была греческой, но иудео-христианская история сотворения мира была семитской, а семиты не так боялись пустоты. Сам акт творения был обращен на хаотическую бездну, и теологи, такие как святой Августин, живший в IV веке, пытались преодолеть это противоречие, называя состояние до творения «чем-то ничем», не имеющим формы, но тем не менее не достигающим «полного ничто». Страх перед бездной был так велик, что христианские ученые пытались трактовать Библию так, чтобы она соответствовала Аристотелю, а не наоборот.

К счастью, не все цивилизации так боялись ноля.

Глава 3

Ничто не позволено

Ноль отправляется на Восток

Поистине, бесконечное — счастье. Нет счастья в малом, лишь бесконечное — счастье.

Если Запад боялся пустоты, Восток ее приветствовал. В Европе ноль был вне закона, но в Индии и позднее в арабских странах он процветал.

Когда мы в последний раз видели ноль, он был просто символом-заполнителем — пустым местом в вавилонской системе нумерации. Ноль был полезен, но не являлся числом в полном смысле слова: он не имел величины. Значение ноль обретал только от цифр слева от него; обозначавший ноль знак буквально ничего не значил сам по себе. В Индии все изменилось.

В IV веке до н. э. Александр Великий со своим персидским войском прошел от Вавилона до Индии. Именно благодаря этому нашествию индийские математики впервые узнали о вавилонской системе счисления и о ноле. Когда в 323 году до н. э. Александр умер, его перессорившиеся полководцы разорвали его империю на части. Во II веке до н. э. к власти пришел Рим, поглотивший Грецию, однако власть Рима не простиралась так далеко на восток, как власть Александра.

В результате далекой Индии не коснулось распространение христианства, на ней не отразилось падение Рима в IV–V веках, там не укоренилась философия Аристотеля. Хотя Александр, ученик Аристотеля, несомненно, привез в Индию идеи своего учителя, они там не привились. В отличие от Греции Индия никогда не испытывала страха перед бесконечностью и пустотой. Напротив, она их приветствовала.

Пустота занимала важное место в индуистской религии. Индуизм возник как многобожие и включал мифы о воинственных богах и битвах, во многом сходные с греческими мифами. Однако за столетия — столетия до прихода Александра — индуистские боги начали сливаться. Хотя индуизм сохранил свои ритуалы и почитание всего пантеона, по сути он сделался монотеистическим и интроспективным. Все боги сделались аспектами одного всеобъемлющего божества — Брахмы. Примерно в то же время, когда греческая культура расцветала на Западе, индуизм становился менее сходным с западными мифами; отдельные боги делались менее отличимыми, а религия становилась все более и более мистической. Мистицизм был выраженно восточным.

Как многие восточные религии, индуизм пропитался символизмом двойственности. (Конечно, эта идея периодически возникала в западном мире, где сразу же клеймилась как еретическая. Одним таким примером может служить манихейская ересь, которая рассматривала мир как находящийся под влиянием равных и противоположных сил — добра и зла.) Как инь и ян на Дальнем Востоке и зороастрийский дуализм на Ближнем Востоке, индуизм видел творение и уничтожение переплетенными между собой. Бог Шива был одновременно создателем и разрушителем мира и изображался с барабаном творения в одной руке и огнем разрушения в другой (рис. 13). Однако Шива одновременно олицетворял ничто. Один из аспектов этого божества, Нишкала Шива, буквально именовался «Шива без частей». Он был первозданной бездной, окончательным ничто — олицетворением безжизненности. Однако из бездны родилась Вселенная, как и бесконечность. В отличие от западной вселенной индуистский космос имел бесконечную протяженность; за пределами нашей Вселенной существовали бесчисленные другие вселенные.