Высшая математика. Шпаргалка - Аурика Луковкина

Высшая математика. Шпаргалка

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координат О, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной оси ОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным углом φ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

Пусть имеются две точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2). Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2), А3 (х3, у3), тогда условие нахождения их на одной прямой:

либо (х2 – х1) (у3 – у1) – (х3 – x1) (у2 – у1) = 0.

2. Пусть даны две точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х2 – х1)(у – у1) – (х – х1)(у2 – у1) = 0 или (х – х1) / (х2 – х1) = (у – у1) / (у2 – у1).

3. Пусть имеются точка М (х1, у1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

у – у1 = а(х – х1).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х1) + В(у – у1) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

у – у1 = –(х – х1) / а

или

а(у – у1) = х1 – х.

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х1, у1), описывается уравнением А (у – у1) – В(х – х1) = 0.

4. Пусть даны две точки А1 (х1, у1), А2 (х2, у2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А1, А2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах1 + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) имеют одинаковые знаки;

2) точки А1, А2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах1 + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точки А1, А2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах1 + + Ву1 + С) и (Ах2 + Ву2 + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х1, у1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у1 = к (х – х1) (параметр пучка к для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y1) = m(x – x1), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучка L1 и L2 соответственно имеют вид (А1х + В1у + С1) = 0 и (А2х + В2у + С2) = 0, то уравнение пучка: m1(А1х + В1у + С1) + m2(А2х + В2у + С2) = 0. Если прямые L1 и L2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точка М (х1, у1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:

3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояние р (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол α (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

полярный угол α

причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.