Мир математики: m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение. - Хавьер Фресан

Пока алгебра не разлучит нас

Теория групп и ее применение

Хавьер Фресан

Мир МАТЕМАТИКИ 35

Москва - 2014

О, сколько всего я говорил ему, не боясь наказанья судьбы, любви, времени и смерти!

Она читает Вергилия, Папу Римского и алгебру так, как читают романы.

Посвящается Лауре Касиельес

Предисловие

Нью-Йорк, 1941 год. Наступила «полночь века», и двое выдающихся еврейских ученых могут вести свои исследования только под сенью Статуи Свободы.

Андре Вейль, основатель группы Бурбаки, впоследствии совершит в математике революцию, сравнимую с открытием Розеттского камня и сделавшую возможной разгадку некоторых труднейших загадок теории чисел. Пока Вейль бороздил океан математики, Клод Леви-Стросс создал структурную антропологию, и образ антрополога как искателя приключений ушел в прошлое. Вейль и Леви-Стросс познакомились в изгнании, где оба оказались наедине со своими мыслями. В то время Леви-Стросс работал над диссертацией о структурах родства. Исследование шло по плану до тех пор, пока не потребовалось проанализировать браки племени мурнгин — они описывались столь сложными правилами, что все известные методы исследований оказались неприменимы.

В этой книге мы расскажем, как Андре Вейль смог решить проблему, лишившую Леви-Стросса покоя, с помощью теории групп — особого раздела математики, который был создан за сто лет до описываемых событий для решения алгебраических уравнений.

Группа — это множество с определенной на нем операцией, которая ставит в соответствие любым двум элементам множества третий элемент по определенным правилам. Числа выражают величины, группы — симметрию.

Группы повсеместно встречаются не только в математике, но и в природе. Анри Пуанкаре в 1881 году писал: «Математика — всего лишь история групп». Сегодня мы можем с уверенностью сказать, что это справедливо по отношению не только к математике. Теория групп описывает кристаллы кварца, атомы водорода, а также гармонию в музыке и системы защиты данных, обеспечивающие безопасность банковских транзакций.

С самого начала нам стало понятно, что историю сотрудничества Вейля и Леви-Стросса можно изложить только в форме диалога. И тут возникло некоторое неудобство: поскольку действие происходит в Нью-Йорке в 1940-е годы, мы не можем говорить обо всех последующих событиях. К счастью, я вспомнил о прекрасном еврейском веровании, о котором упомянула дочь Вейля: люди после смерти находят себе соучеников в загробном мире и продолжают учиться. Клод Леви-Стросс, умерший в октябре 2009-го, стал таким соучеником для Андре Вейля, который ждал его с момента смерти, наступившей 11 годами ранее. Предупреждаю читателя: не следует думать, что приведенный в книге диалог — выдумка от начала до конца. За некоторыми исключениями, все, что расскажут наши герои, зафиксировано в многочисленных источниках.

Идея этой книги родилась на конференции, прошедшей в августе 2010 года в Международном университете Менендес-и-Пелайо, в Летнем зале имени Ортеги-и-Гассета этой «удивительной академии в духе Возрождения». Но прежде чем предоставить слово моим героям, я должен выразить благодарность организаторам курса и всем, кто помог мне в работе над данной книгой: это Джузеппе Анкона, Густаво Очоа, Гильермо Рей, Роберто Рубио и Лукас Санчес Сампедро. Благодаря им мне удалось еще больше приблизиться к цели и объяснить широкой публике теорию групп через произведения Андре Вейля и Клода Леви-Стросса.

10

Глава 1 Годы Бурбаки

Любому, кто по-настоящему заслуживает звания математика, знакомо состояние счастливого озарения, наступающее, быть может, лишь в исключительные моменты, когда мысли выстраиваются совершенно удивительным образом и когда бессознательное — что бы ни означало это слово — также, по всей видимости, играет свою роль.

Конец октября 2009 года

ВЕЙЛЬ: Одиннадцать лет прошло...

ЛЕВИ-СТРОСС: Как же я рад вас видеть, господин Вейль! Поймите меня правильно: я предпочел бы встретиться с вами при иных обстоятельствах, но я рад тому, что вы станете моим соучеником. У меня для вас столько вопросов!

ВЕЙЛЬ: У меня тоже, поэтому не будем терять времени и начнем с вопроса, который мне по-настоящему интересен: как вы смогли дожить до ста лет?

ЛЕВИ-СТРОСС: Я обучился этому у индийцев. Но я считаю, что не имею права раскрывать их секреты. Я очень рад, что мы с вами вновь встретились: мне помнится, мы как-то выяснили, что наши предки, возможно, были знакомы, а наши отцы в юности оба были дрейфусарами[1]. Я родом из семьи эльзасских евреев, которые переехали в Париж после аннексии Эльзаса, так как хотели по-прежнему жить во Франции. Так же поступили и ваши родители?

ВЕЙЛЬ: Только родственники по отцу, Вейлли, которые по дороге потеряли вторую букву «л» в фамилии. Кто знает, быть может, мать Пруста по имени Жанна Вейль приходится нам родней? Мои предки по материнской линии родом из степей Галиции. Они носили фамилию Рейнгерц, что в переводе с немецкого означает «чистое сердце».

11

В детстве я слышал много рассказов о них. Впрочем, я понял, что я еврей, только в десять лет, и не придал этому никакого значения.

ЛЕВИ-СТРОСС: Ваша сестра, философ Симона Вейль, считала иначе...

ВЕЙЛЬ: Господин Леви-Стросс, вы знаете, что она по своей природе была склонна ко всяким чудачествам: она то хотела прыгнуть с парашютом, то укрывала в своем доме Троцкого, то предпринимала еще что-нибудь в этом духе. В 15 лет Симона пережила кризис: в это время она считала себя посредственностью в интеллектуальной сфере. Это происходит со многими в ее возрасте, но моя сестра всерьез подумывала о самоубийстве. Впрочем, позже она всегда сохраняла жизнерадостность. В детстве мы были неразлучны: я никогда не забуду, как однажды вечером я упал, а она со всех ног побежала в дом за книгой по алгебре, чтобы успокоить меня.

Память об этих по-детски наивных проявлениях нежности она сохранила на всю жизнь и всегда понимала суть вещей лучше, чем большинство ее близких: так, Симона одной из первых попыталась открыть всему миру глаза на происходящее в России. Я думал, что она уже никак не сможет меня удивить, но ее смерть надолго выбила меня из колеи: у меня несколько месяцев перед глазами стояла страница из книги Сен-Симона со следами ее слез.

ЛЕВИ-СТРОСС: Во время Первой мировой войны ваш отец служил на фронте, в военных госпиталях, и вся ваша семья следовала за ним. Не повлияло ли это на ваше образование?

ВЕЙЛЬ: Мне кажется, в том, что я не обучался по привычной системе, были свои преимущества. Я всегда считал, что достаточно каждые два или три года находить хорошего преподавателя, чтобы он давал толчок к самостоятельному обучению. Эйнштейн просил учителей не рассказывать ему ничего из того, что он уже выучил самостоятельно. Я помню двух преподавателей, которые особенно помогли мне в первые годы учения: я уверен, что господин Коллин знал о математике не больше, чем ему довелось объяснять на занятиях, но он как никто другой умел подстегнуть воображение и усердие учеников. Он вызывал кого-нибудь к доске, чтобы тот решил задачу, и весь класс по десять минут молча думал над решением. Затем мы вместе принимались за его поиски, и не важно, что все наши идеи порой оказывались бесплодными. Тем не менее все определения мы должны были знать наизусть.

Другой мой школьный учитель создал особую алгебраическую систему обозначений для грамматического анализа, о которой я вспомнил намного позже, когда прочел труды Хомского.

ЛЕВИ-СТРОСС: Все эти обстоятельства неудивительны, учитывая что годы вашей учебы прошли в путешествиях.

12

ВЕЙЛЬ: Где я только не был. В 19 лет мне выпала возможность пройти курс в Риме, где образовалась блестящая школа алгебраической геометрии: Франческо Севери преподавал теорию поверхностей, а Федериго Энрикес не раз приглашал меня к себе домой вместе с другими студентами. Именно на одной из таких встреч я узнал о работе Луиса Джоэла Морделла о рациональных точках на эллиптических кривых, без которой не смог бы закончить диссертацию.

На следующий год Вито Вольтерра — один из математиков, с которыми я подружился в Риме, — выдвинул меня на получение стипендии Фонда Рокфеллера, созданной, чтобы «вновь достичь вершин науки» среди послевоенной разрухи. Я посетил Рихарда Куранта в Геттингене в тот самый год, когда он создал квантовую механику (увы, это я понял намного позже!), а также провел несколько месяцев в Берлине. У меня осталось достаточно времени, чтобы помочь Миттаг-Леффлеру, который в то время бился над статьей о рядах многочленов. То была эпоха «оттепели» в Стокгольме. Каждый день мы начинали говорить о математике на французском, затем гостеприимный Миттаг-Леффлер переходил на другую тему и начинал говорить по-немецки, после чего, устав, произносил длинный монолог на шведском, который неизменно оканчивался фразой «Ах да, я и забыл, что вы не говорите по-шведски. Продолжим беседу завтра».